Warum ist es anfangs viel schwieriger, einen Ballon aus dem Mund zu füllen?

Ich denke, dass die meisten Antworten hier falsch sind, da es nichts mit abnehmendem Widerstand von Gummi zu tun hat. Tatsächlich nimmt die zum Dehnen des Ballons erforderliche Kraft beim Aufblasen zu und nicht ab. Es ist ähnlich wie das Dehnen einer Saite, dh. die reaktionskraft ist proportional zur längenzunahme der schnur - daher gibt es einen punkt, an dem man einen brustexpander nicht mehr dehnen kann.

Der wahre Grund, warum es anfangs schwierig ist, den Ballon aufzublasen, ist, dass am Anfang, dh. Mit dem ersten Schlag vergrößern Sie die Gesamtfläche des Ballons erheblich, wodurch die Kraft (Druck auf die Oberfläche) ebenfalls erheblich zunimmt. Mit jedem weiteren Schlag wird die Zunahme der Gesamtfläche kleiner und damit auch die Kraftzunahme. Dies ist das Ergebnis zweier Tatsachen:

• konstante Lautstärkezunahme bei jedem Schlag
• Das Volumen des Ballons ist proportional zur Kubik des Radius , während die Oberfläche des Ballons proportional zum Quadrat des Radius ist

Für eine Kugel hast du:

Nehmen Sie einen Streifen Ballongummi und ziehen Sie daran. Je mehr Sie ziehen, desto schwieriger wird es. Warum also wird das Aufblasen des Ballons einfacher (zumindest lange vor der Sollbruchstelle)?

Der Ballon beginnt mit einer sehr starken Krümmung, sodass der Luftdruck jeden Punkt auf seiner Oberfläche relativ zu seinen 1 cm großen Nachbarn stark verzerrt. Die gesamte Spannung des Gummis zieht in einem relativ scharfen Winkel nach innen. Bei einem größeren Ballon wird dieser Winkel flacher.

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Faden an der Wand befestigt. Du hängst ein Gewicht an die Mitte des Fadens und ziehst das andere Ende weg. Jetzt wird das Ziehen immer härter, je größer der Winkel zwischen den Enden Ihres Fadens wird. Der Einfluss des Gewichts wird größer, obwohl sich das Gewicht nicht ändert. Umgekehrt, wenn Sie mit konstanter Kraft an Ihrem Faden ziehen, benötigen Sie ein viel größeres Gewicht, um einen spitzen Winkel zu erzeugen, als um einen weiten Winkel zu erzeugen.

Dieser Effekt überkompensiert die eigentlich ansteigende Spannung im Belag weitestgehend.

Probieren Sie es mit http://www.calculatoredge.com/calc/sphere.htm aus . Es ist nicht perfekt, vor allem, weil es keine vernünftigen Zahlen für den Anfang liefert, aber finden Sie einige und ändern Sie dann Druck und Volumen, um die Auswirkungen auf das zu sehen betonen. Doppelter Radius würde doppelte Spannung bedeuten, umgekehrt braucht man bei gleicher Spannung den halben Druck, um einen doppelt so großen Ballon aufzublasen.

Verwenden Sie im Zweifelsfall Mathematik.

Stellen Sie sich den Ballon als eine Kugel mit anfänglichem Radius vor (nahe genug für diese Antwort).$r_0$und Dicke$t$. Lassen Sie uns es nur ein wenig aus dem nicht aufgeblasenen Zustand aufblasen (auf Radius$r_0 + \Delta r$). Jetzt können wir uns ansehen, was passiert, wenn wir einen Schnitt durch den Äquator der Kugel machen. Der Gesamtumfang am Äquator beträgt$2\pi r$; mit der Dicke$t$Der Bereich Gummi, gegen den wir arbeiten, ist$2\pi r t$. Den Radius des Ballons dehnen um$\Delta r$erhöht den Umfang um einen Bruchteil von$\frac{\Delta r}{r}$- das ist die Belastung. Wenn wir nun annehmen, dass Gummi ein perfekt elastisches Material ist (konstanter Elastizitätsmodul E), dann ist die Kraft, die wir ausüben müssen, gleich

Die Kraft ist also unabhängig vom Radius - obwohl sie vom Grad der Dehnung abhängt ($\Delta r$).

Die Kraft auf das Gummi ergibt sich nun aus dem Druck im Ballon dividiert durch die Fläche am Äquator:

Wenn Sie diese beiden kombinieren, erhalten Sie

Denn es gibt eine$r^2$Term im Nenner bedeutet dies, dass der Druck geringer wird, wenn der Ballon größer wird - das heißt, das Aufblasen eines Ballons ist zunächst schwieriger, wie es die allgemeine Erfahrung ist.

Aber warten Sie - es gibt noch mehr. Die Dicke des Ballons wird geringer, wenn sich der Ballon dehnt - für eine Kugel ist dies eine etwas komplexe Größe, die das Poisson-Verhältnis des Materials beinhaltet. Aber der Punkt ist der$t$wird kleiner als$r$größer wird: Dadurch fällt der Druck mit dem Radius noch schneller ab.

Schließlich ist der Elastizitätsmodul nicht ganz konstant - vor allem wenn Gummi über einen bestimmten Punkt hinaus gedehnt wird, wird es viel steifer. Dies ist der Grund dafür, dass der Ballon, der anfänglich leichter aufzublasen war, schließlich ziemlich hart wird – und ein weiteres Aufblasen kann ihn zum Platzen bringen.

Wie Dev oben sagte, hat das Material, aus dem Ihr typischer runder Ballon besteht, eine nichtlineare Spannungs-Dehnungs-Kurve. Wenn es gerade mit dem Aufblasen beginnt, ist es ziemlich steif, aber wenn es dann zu explodieren beginnt, nimmt die Steifheit etwas ab, bis es sich seiner maximalen Größe nähert. Wir haben dies in meiner fortgeschrittenen Laborklasse gemessen, und obwohl ich die Daten nicht zur Hand habe, gibt es eine Website , die eine Spannungs-Dehnungs-Kurve für einen Ballon zeigt.

Edit: Originallink ausgetauscht, unklar ob die Seite bösartigen Inhalt hatte oder nicht? Ich hatte keine Warnungen in den letzten Versionen von Firefox und Chrome, aber sicher ist sicher.

Das Volumen eines Ballons wächst linear, während die Oberfläche (die Sie tatsächlich dehnen) dies nicht tut. Obwohl Sie also die gleiche Menge Luft in einen Ballon blasen, dehnen Sie die Oberfläche nicht so stark wie am Anfang.

Lassen Sie uns zunächst zusammenfassen, was wir eigentlich erleben, wenn wir den Ballon aufblasen. Für das allererste bisschen Volumen müssen wir viel Energie aufwenden. Oder wir müssen viel Druck aus unseren Lungen ausüben, um die Energie zu ändern$\delta E$, Volumenänderung$\delta V$und zusätzlichen Druck$\Delta P$(das ist der Unterschied zwischen dem tatsächlichen und dem atmosphärischen), haben wir ungefähr

ARM , Golem und John Bentlin wiesen auf Effekte hin, die sicherlich dazu führen, dass ein Ballon schwieriger aufzublasen ist, wenn er weniger als stark aufgeblasen ist. Es ist jedoch nicht ganz klar, welcher der Effekte in diesem Fall die Hauptrolle spielt.

Die Auswirkung einer "S-Kurve" auf die Zugreaktion des Ballons ist jedoch nur um den Zugdruck herum signifikant, dh bei dem Druck, bei dem wir die Spitze der S-Kurve erreichen. Der Zugdruck von Gummi liegt typischerweise bei ca$10-15 MPa$. Wir können also fragen, ob wir durch lineares Dehnen in einem typischen Ballon den Zugdruck beim ersten Schlag erreichen oder nicht. Sobald wir das tun, werfen wir das Modell weg und sagen danach, dass es viel einfacher zu dehnen ist, da jetzt das Gummi "überdehnt" ist.

Für den Druck in einem kugelförmigen Volumen vom Durchmesser r , das von einer Membran mit Oberflächenspannung gehalten wird$\sigma$, gibt es ein Gesetz namens Laplace-Gesetz und es lautet:

Für Gummi haben wir einen Elastizitätsmodul in der Nähe$E_Y = 0,01-0,1 GPa$. Die Membranoberflächenenergie kann wiederum durch energetische Betrachtungen wie folgt abgeleitet werden

wo$d$ist die Dicke der Kugelwand. Jedoch$d$wird mit wachsender Fläche ausgebreitet, das heißt als$r^2$. Ohne weiteres Zögern können wir nur einen ungefähren Ausdruck schreiben

Wo$d_0$und$r_0$sind die anfängliche Dicke und Dichte. Wenn wir alle Formeln zusammenfügen, erhalten wir

Sie können also sehen, dass der Druck nach oben abfällt$r$wie$r^{-3}$. Die einzige Chance, dass die S-Kurve eine Rolle spielen würde, wäre, wenn wir selbst für die Anfangswerte von Dicke und nahe an der Spitze wären$r$. Durch das Setzen eines kleinen$r_0=1cm$,$d_0=1mm$und$E_Y = 0.1 GPa$, erhalten wir einen Anfangsdruck von

was auf jeden Fall weniger als ist$15 MPa$, also wird die S-Kurve beim ersten Schlag sicher keine Rolle spielen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Druck beim ersten Schlag am höchsten ist, da sowohl das Gummi verteilt wird als auch eine größere Oberfläche weniger Energieaufwand erfordert, um mehr Volumen aufzunehmen .

Die Auswirkungen des Vorspreizens Ihres Ballons geben Ihnen nur einen größeren$r_0$und der Ballon bricht schließlich nur, weil die Wand zu dünn wird und kleine Mängel dazu führen, dass er selbst bei sehr geringem Druck zusammenbricht.

Das Material eines ungedehnten Ballons widersteht einer Dehnung; Dies kann größtenteils durch manuelles Vordehnen überwunden werden (etwas, das ich von meiner Mutter gelernt habe, als ich ungefähr 5 Jahre alt war). Die andere Sache, die ich in Betracht ziehen würde (und die ich bisher nicht erwähnt sehe), ist die kumulative Kraft, die beim Aufblasen auf die Innenfläche des Ballons ausgeübt wird, berechnet durch Druck x Fläche. Beispiel: Ein runder Ballon mit 2 Zoll Durchmesser hat eine Oberfläche von etwa 50 Quadratzoll. Bei 2 Pfund Quadratzoll sind das 100 Pfund Kraft insgesamt. Bei 4 Zoll Durchmesser hat er etwa 200 Quadratzoll; bei denselben 2 Pfund pro Quadratzoll sind das jetzt insgesamt 400 Pfund Kraft. Die Differenz der Kraft ist das Quadrat der Durchmesseränderung.

Die im Wikipedia-Artikel Zwei-Ballon-Experiment zusammengefasste Druckkurve für einen Gummiballon leitet den Druck mithilfe einer theoretischen Spannungsgleichung ab, die auf der thermodynamischen Elastizitätstheorie für einen idealen Gummi basiert. Sie finden die ungefähre Formel

Diese Vorlesung verwendet das "zweidimensionale, ebene spannungsverallgemeinerte Hookesche Gesetz in Bezug auf das Eulersche Dehnungsmaß" (das sie als eine sehr grobe Annäherung bezeichnen), um eine Kurve abzuleiten ($\nu = 1/2$für inkompressibel).

Beide Ableitungen berücksichtigen die Verdünnung des (angenommen inkompressiblen) Gummis bei Dehnung der Membran.

Weil das Gummi anfangs dicker ist. Dickes Gummi lässt sich im Verhältnis zu seiner Dicke schwerer dehnen als dünnes Gummi. Und die Dicke des Gummis in einem Ballon ist umgekehrt proportional zu seiner Oberfläche.

Die elastische Natur von Gummi ändert sich umgekehrt je nach Druck/Temperatur, wodurch es härter wird, wenn es kühl ist, und weicher, wenn Druck ausgeübt wird.

Um einen Ballon in einem normalen Zustand aufzublasen, müssen wir also zunächst mehr Druck ausüben. Wenn es sich ausdehnt, erhöht sich der Druck im Inneren, wodurch die Elastizität des Gummis verringert wird, wodurch es später leichter zu blasen ist.

Die Elastizität eines Materials ist definiert als die Tendenz eines festen Materials, nach einer Verformung wieder in seine ursprüngliche Form zurückzukehren.

Wir haben festgestellt, dass die Teile eines Ballons kühl werden, wenn er platzt. Dies ist der umgekehrte Effekt, denn wenn der Druck im Inneren plötzlich abnimmt, nimmt er die Raumtemperatur auf und behält seine Elastizität.

Tatsächlich hängt es vom Material des Ballons ab. Wenn der Ballon aus weniger elastischem Material besteht, wird es noch schwieriger, ihn selbst nach geringem Aufblasen aufzublasen, da er sehr früh seine Elastizitätsgrenze erreicht, was bei elastischeren Ballons möglicherweise nicht der Fall ist.

Intuitiv kann man sich das so vorstellen:

Druck wird als Kraft/Fläche gemessen, z. B. Pfund pro Quadratzoll (PSI) oder Newton pro Quadratmeter (Pascal). Anfangs ist die Oberfläche im entleerten Ballon klein, was bedeutet, dass mehr Druck erforderlich ist, um ihn aufzublasen. Sobald Sie beginnen, den Ballon aufzublasen, wird die Oberfläche im Inneren immer größer. Dies bedeutet, dass zum Aufblasen weniger Druck erforderlich ist, obwohl der Ballon beim Dehnen einen höheren Widerstand leistet.