Aufblasen eines Ballons (Ausdehnungswiderstand)

Question

Aufblasen eines Ballons (Ausdehnungswiderstand)

Luft
Physik
Druck
Elastizität
Thermodynamik
Werkstoffkunde

avanwieringen

Ich mache eine schnelle Berechnung, wie man den Druck berechnet, der erforderlich ist, um einen perfekt kugelförmigen Ballon auf ein bestimmtes Volumen aufzublasen, aber ich habe Schwierigkeiten mit der Tatsache, dass der Ballon (Gummi) einen Dehnungswiderstand hat und wie sich dies auf den erforderlichen Druck auswirkt. Es hat mit dem E-Modul des Materials zu tun, denke ich, aber mir fällt keine richtige Methode ein, es zu berechnen?

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Aufblasen eines Ballons (Ausdehnungswiderstand)

Rick · Answer 1

Der vollständige Spannungstensor ist zwar genau, aber zum Lösen dieses Problems weitgehend unnötig, da es sich um einen dünnwandigen Druckbehälter handelt

Unter der Annahme, dass der Ballon kugelförmig ist, kann die Dehnung einfach aus dem aktuellen und dem anfänglichen Radius berechnet werden.

ϵ = \frac{r}{r_{0}} - 1

$\epsilon=\frac{r}{r_0}-1$

Die Spannung lässt sich über den Elastizitätsmodul ermitteln:

σ = E ϵ

$\sigma=E\,\epsilon$

Die Druckgleichung für dünne Wände kann Sie zum Druck bringen, wenn Sie die Dicke kennen, indem Sie den nach außen gerichteten Druck im Inneren mit der nach innen gerichteten Spannung entlang eines Großkreises der Kugel ausgleichen:

π r^{2} P = 2 π r σ t

$\pi\,r^2\,P=2\,\pi\,r\,\sigma\,t$

P = \frac{2 σ t}{r}

$P=\frac{2\,\sigma\,t}r$

Da Ballons dünner werden, wenn sie sich dehnen, variiert die Dicke tatsächlich. Gummi hat typischerweise eine Poisson-Zahl von 0,5, was bedeutet, dass es ein konstantes Volumen beibehält, während es verformt wird. Wir können dann die Dicke in Bezug auf den Radius berechnen:

t r^{2} = t_{0} {r_{0}}^{2}

$t\,r^2=t_0\,{r_0}^2$

t = t_{0} {(\frac{r_{0}}{r})}^{2}

$t=t_0\,\left(\frac{r_0}{r}\right)^2$

Alles zusammen:

P = \frac{2 E (r - r_{0}) t_{0} r_{0}}{r^{3}}

$P=\frac{2\,E\,\left(r-r_0\right)\,t_0\,r_0}{r^3}$

Um zu sehen, wie das aussieht, können wir ein generisches Diagramm erstellen:

Wie Sie sehen können, gibt es einen maximalen Druck, nach dem es immer einfacher wird, den Ballon aufzublasen. Wir können nach diesem maximalen Druck auflösen, indem wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, nach r auflösen und wieder einsetzen:

0 = \frac{d P}{d r} = 2 E t_{0} r_{0} (\frac{1}{r^{3}} - 3 \frac{r - r_{0}}{r^{4}})

$0=\frac{dP}{dr}=2\,E\,t_0\,r_0\left(\frac1{r^3}-3\frac{r-r_0}{r^4}\right)$

r = \frac{3}{2} r_{0}

$r=\frac32\,r_0$

P_{m a x} = \frac{8 E t_{0}}{27 r_{0}}

$P_{max}=\frac{8\,E\,t_0}{27\,r_0}$

Dies setzt natürlich einen konstanten Elastizitätsmodul voraus, was niemals für eine ausreichend große Verformung gilt.

Yanín Guerra · Answer 2

Was Sie vermissen, ist die Tatsache, dass $p=\int \tau \cdot \hat n dA$ , wo $\tau$ ist der Spannungstensor. Ich schlage vor, Sie lesen Landaus Buch: Theory of Elasticity. Er löst das Problem einer Hohlkugel mit unterschiedlichen Drücken.

Dr Colville · Answer 3

Die obige generische Darstellung hat einige experimentelle Überprüfungen unter https://www.youtube.com/watch?v=fwh-i0WB_bQ . Schade, dass sie den Radius des Ballons nicht gemessen haben, aber wenn wir eine konstante Expansionsrate annehmen, sollte die Form des Diagramms, das gegen die Zeit aufgetragen ist, ähnlich sein. Tatsächlich zeigt es deutlich den anfänglichen maximalen Druck, der oben gezeigt wurde, verursacht durch den kleinen Krümmungsradius der Ballonoberfläche, gefolgt von einer Abnahme bis ungefähr konstant, wenn der Krümmungsradius zunimmt. Das Verlassen der Annahme eines konstanten Elastizitätsmoduls führt dann dazu, dass der Druck wieder zu steigen beginnt.

Aufblasen eines Ballons (Ausdehnungswiderstand)

avanwieringen

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