Warum kann das Elektron nicht in den Kern eindringen?

Das Elektron wird vom Kern angezogen. Im Bohr-Modell wurde gesagt, dass das Elektron um den Kern rotiert und die Zentrifugalkraft die Kernanziehung kompensiert. Aber das Bohr-Modell ist veraltet. Das Elektron ist ein Quantenteilchen in einem elektrostatischen Feld, und sein Verhalten wird durch die Schrödinger-Gleichung und letztendlich durch die Wellenfunktion bestimmt, siehe Bild.

Wie Sie in der linken Spalte im Bild sehen können, im Zustand$n=1$, dh auf der inneren Elektronenhülle, hat das Elektron eine von Null verschiedene und nicht zu vernachlässigende Wahrscheinlichkeit, sich an der Kernposition zu befinden - siehe innerster heller Bereich. Außerdem ist das Phänomen des Elektroneneinfangs durch einen Kern bekannt, siehe hier .

„Elektroneneinfang ist ein Prozess, bei dem ein protonenreiches Nuklid ein inneres Atomelektron absorbiert, wodurch ein Kernproton in ein Neutron umgewandelt wird und gleichzeitig die Emission eines Elektron-Neutrinos verursacht wird. Es folgen verschiedene Photonenemissionen, wenn die Energie des Atoms abfällt den Grundzustand des neuen Nuklids."

Aber die größte Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das Elektron außerhalb des Kerns befindet. Der Radius der Elektronenwolke ist$10^{-8}$cm, und der Radius des Kerns ist cca.$10^{-12}$cm.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auffinden eines Elektrons eines Wasserstoffatoms im Grundzustand in einem bestimmten Volumen ist gegeben durch$dP = |\psi|^2 d^3x$, wo die Wellenfunktion$\psi$ wird von gegeben

$$\psi_{n\ell m} = \psi_{000} = \frac1{\sqrt{4\pi}}\frac2{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0}$$ Wo $a_0 \approx \frac12\times10^{-10}\rm\,m$ist der Bohr-Radius . Dies ist die erste der oben von Sofia gezeichneten Wellenfunktionen.

Der Radius des Kerns ist wohltätig$r_n \approx \frac32\times10^{-15}\rm\,m$, etwa fünf Größenordnungen kleiner.

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Kern zu finden, indem wir das Integral über das Kernvolumen bilden,

$$P = 4\pi\int_{r=0}^{r_n}r^2 dr |\psi|^2 \approx \frac43\left( \frac{r_n}{a_0} \right)^3$$ das ergibt ungefähr $10\times10^{-15}$, wobei der größte Teil der Unsicherheit von meiner Vermutung für stammt $r_n$. Wenn Sie also ein Gramm Wasserstoffatome hätten, überlappen ungefähr zehn Femtogramm davon das Elektron zu jedem Zeitpunkt mit dem Kern.

Die Sache ist, dass das Elektron das gesamte Volumen des Atoms einnimmt, während der Atomkern erstaunlich kleiner ist. Wenn wir keinen Elektroneneinfang hätten , würden wir überhaupt nicht darüber sprechen, dass Elektronen Zeit im Kern verbringen.

Der Grund dafür ist, dass es keine bekannte Kraft gibt, die stark genug ist, um es dort zu halten. Elektronen sind Quantenteilchen mit sehr kleiner Masse. Aber wir können zeigen, wie Größenordnungsberechnungen mit einem Minimum an Quantenmechanik (das Orts-Impuls-Unschärfeprinzip) und mechanischen Energieprinzipien zu korrekten Größenordnungsergebnissen für das Wasserstoffatom in seinem Grundzustand führen. Betrachten Sie ein Elektron im Coulomb-Feld eines Protons, das im Ursprung des Koordinatensystems stationär angenommen wird. Wenn die beiden Teilchen durch einen Abstand getrennt sind$r$, die potentielle Energie des Elektrons ist

$V(r) = \frac{-q^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}$

Wo$q$ist seine elektrische Ladung, die der Ladung des Protons genau entgegengesetzt ist. Satz

$\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} = e^2$

Nehmen Sie an, dass der Zustand des Elektrons durch eine kugelsymmetrische Wellenfunktion beschrieben wird, deren räumliche Ausdehnung durch gekennzeichnet ist$r_0$. Die diesem Zustand entsprechende potentielle Energie liegt dann in der Größenordnung von

$\bar V \simeq \frac{-e^2}{r_0}$

Damit es so niedrig wie möglich ist, muss es vorhanden sein$r_0$so klein wie möglich. Das heißt, die Wellenfunktion muss möglichst konzentriert um das Proton sein. Aber wir müssen auch die kinetische Energie berücksichtigen. Hier kommt die Unschärferelation ins Spiel: wenn das Elektron in einem Volumen von linearer Dimension eingeschlossen ist$r_0$, die Unsicherheit$\Delta p$in seiner Dynamik mindestens in der Größenordnung von$\frac{\hbar}{r_0}$. Mit anderen Worten, selbst wenn der durchschnittliche Impuls Null ist, die kinetische Energie$T$der dem betrachteten Zustand zugeordnet ist, ist nicht Null:

$\bar T \gtrsim \bar T_{min} = \frac{1}{2m}(\Delta p)^2 \simeq \frac {\hbar^2}{2m(r_0)^2}$

Wenn wir nehmen$r_0$kleiner, um die potentielle Energie zu verringern, steigt die minimale kinetische Energie. Die niedrigste mit der Unschärferelation kompatible Gesamtenergie ist somit das Minimum der Funktion:

$E_{min} = \bar T_{min} + \bar V = \frac {\hbar^2}{2m{r_0}^2} - \frac{e^2}{r_0}$

Dieses Minimum wird erreicht für:

$r_0 = a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2}$und ist gleich:

$E_0 = -\frac{me^4}{2\hbar^2}$

Je kleiner die Ausdehnung der Wellenfunktion ist, desto größer ist aufgrund der Unschärferelation die kinetische Energie des Elektrons. Man könnte sagen, die Unschärferelation sorgt für einen Auftrieb, der das Elektron vom Proton im Kern abhebt.

Quelle: Quantenmechanik Band 1, Cohen-Tannoudji, Diu und Laloe, John Wiley und Söhne, 1977

Elektronen sind wie Planeten, die um einen Atomkern kreisen.

Denn Zentrifugalkraft und Cetripetalkraft hatten gleiche Größenordnungen.

Wenn die Nettokraft aus allen Richtungen 0 ist, beginnt sich das Teilchen zu drehen. Dasselbe passiert für Elektron und beginnt, sich um den Kern zu drehen.