Warum müssen im Rutherford-Atommodell Elektronen auf den Kern fallen?

Nun, ich sehe in keiner dieser Antworten hier ein Problem, aber da Sie in Kraft ausgedrückt werden wollen ... lassen Sie uns gehen.

Die Lorentzkraft ist:

$$\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times\mathbf B)$$

Nehmen wir das schöne und einfache Wasserstoffatom an. Ein einzelnes Elektron umkreist ihn klassischerweise. Nehmen wir an, es gibt kein Magnetfeld. Nur elektrisch. Das elektrische Feld ist ein zentrales Feld, was bedeutet, dass es nur radial zeigt, was bedeutet, dass es zu einer Umlaufbahn führt. Und mehr: Es ist eine Kepler-Umlaufbahn (die gleiche wie bei den Planeten).

$$\mathbf F = q\mathbf E$$

Aber dann strahlt das Elektron, wenn es beschleunigt wird, elektromagnetische Energie aus. Es muss der Energieerhaltungssatz gelten, sodass die Bestrahlung dem Elektron Energie entzieht. Das Elektron verliert dann seine Energie. Energie ist proportional zum Impuls (kinetische Energie). Somit verliert das Elektron an Impuls. Impulsänderung ist Kraft. Wenn wir die Larmor-Formel nehmen und diesen Prozess durchführen, werden wir bei der Abraham-Lorentz-Kraft ankommen .

Nun ist die vollständige Kraft davon:

$$\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt} = m\frac{d^2\mathbf r}{dt} = q\mathbf E(\mathbf r) + \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\frac{d^3\mathbf r}{dt^3}$$

Beachten Sie, dass für eine kreisförmige Umlaufbahn in der xy-Ebene gilt:$\mathbf r = r(\cos\omega t, \sin\omega t, 0)$, und somit:

$$\omega^2\mathbf r = -\frac{d^2\mathbf r}{dt^2} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2\frac{d\mathbf r}{dt} = -\frac{d^3\mathbf r}{dt^3} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf F = q\mathbf E - \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\omega^2\mathbf v$$

Das heißt, die Ableitung dritter Ordnung hat eine Beziehung zur Geschwindigkeit. Und nicht nur das: Hat dort drüben ein Minuszeichen, was auf eine Widerstandskraft hinweist: Eine Kraft, die immer der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist und daher dazu neigt, die Bewegung zu stoppen. Ein Elektron, das ein Proton umkreist, ohne dass ein Magnetfeld vorhanden ist, wird aufgrund dieser Kraft gezogen, spiralförmig hinein und in das Proton kollabieren.

Ausgezeichnete Frage, die in Einführungen in die Quantenmechanik selten angesprochen wird. Maxwells Gleichungen zeigen deutlich, dass das Elektron in einem klassischen Rutherford-Atom EM-Felder mit einer durch die Larmor-Formel gegebenen Gesamtleistung ausstrahlen würde. Aber daraus folgt nicht sofort, dass diese Strahlung das Elektron dazu bringen würde, sich spiralförmig in Richtung des Kerns zu bewegen.

Dazu müssen Sie separat eine Strahlungsreaktionskraft postulieren (oft, aber nicht immer, angenommen, dass sie die Form der Abraham-Lorentz-Dirac-Kraft annimmt), die die übliche Lorentz-Kraft ergänzt . Es gibt keinen allgemein anerkannten Weg, dies zu tun, oder sogar einen Konsens unter Physikern darüber, ob dies überhaupt notwendig ist. Es gibt verschiedene Versionen der Theorie der klassischen EM, die die Strahlungsreaktion auf unterschiedliche Weise handhaben, von denen jede (etwas subjektive) Vor- und Nachteile hat. Es gibt keinen einzigen "richtigen" Weg, dies zu tun, da die klassische EM nur eine ungefähre Theorie ist, die die (letztendlich Quanten-) Natur der physikalischen Realität auf winzigen Längenskalen nicht vollständig erfassen kann.

(Es wird oft behauptet, dass die Energieerhaltung logischerweise erfordert, dass das Lorentz-Kraftgesetz durch eine Strahlungsreaktionskraft für die interne Konsistenz ergänzt wird, aber das stimmt nicht wirklich. Da die Eigenenergie eines Punktteilchens formal unendlich ist, ist es eigentlich mathematisch selbstkonsistent – ​​obwohl vielleicht subjektiv unangenehm – für ein geladenes Teilchen, das ewig strahlt, ohne jemals seine Flugbahn zu ändern, weil es streng genommen über eine unerschöpfliche Reserve an potenzieller Energie verfügt, aus der es sich borgen kann.)

Es ist also eigentlich eine zu starke Vereinfachung zu sagen, dass die vom Elektron eines klassischen Rutherford-Atoms emittierte Strahlung zwangsläufig dazu führt, dass es nach innen in Richtung des Kerns fällt. Ob das stimmt oder nicht, hängt von Ihrer Wahl des postulierten Strahlungsreaktionsmechanismus ab, für den es keine einzige kanonische Form gibt.