Warum stellt die Gruppengeschwindigkeit Energie- oder Informationsübertragung dar? Welche Beziehung zwischen Phasengeschwindigkeit und spezieller Relativitätstheorie

Die Aussage „Gruppengeschwindigkeit stellt Energie- oder Informationsübertragung dar“ ist nicht ganz zutreffend. Und das ist in der Tat eine große Dose Würmer. Aber fangen wir von vorne an.

Was ist die Dispersionsrelation?
Angenommen, Sie haben eine gewisse Menge$u$das hängt von einer Koordinate ab$x$und pünktlich$t$.

Dispersionsverhältnis$\omega(k)$ist im Grunde eine Aussage, wenn Sie eine Koordinatenabhängigkeit in Form einer Welle mit einem Wellenvektor haben$k$:

$$u(x)=Ae^{-ikx},$$ dann kannst du sofort die Zeitabhängigkeit schreiben wie $$u(x,t)=Ae^{i\omega(k)t-ikx}.$$

Was ist, wenn Sie komplexer haben$u(x)$?
In diesem Fall stellen Sie es als Summe (oder Integral) solcher Wellen dar. Das nennen sie "eine Fourier-Transformation":

$$u(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{-ikx}dk$$ Unter Verwendung des Superpositionsprinzips können wir dann schreiben: $$u(x,t) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ Wenn Sie das jetzt annehmen $a(k)$ist um einen Wellenvektor herum spitz $k_0$, dann können Sie ableiten, dass sich das resultierende Wellenpaket mit einer Gruppengeschwindigkeit bewegt. Die Herleitung können Sie hier einsehen .

Aber wie ist das die maximale Geschwindigkeit der Informationsübertragung?
Das ist mein Punkt. Lassen Sie uns ein$\delta$-Signal an$x=0$-- seine Fourier-Transformation ist über alle Frequenzen hinweg einheitlich:

$$u(x) = \delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ikx}dk$$ Die Zeitentwicklung wäre also: $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ Und wir sollen glauben, dass dieser Ausdruck gibt $u(x,t)=0$für $x>v_gt$was auch immer $\omega(k)$Ist.

Und das stimmt nicht?
Ja. Der Trick besteht darin, dass Sie, wenn Sie Streuung einführen und Kausalität bewahren wollen, auch etwas Absorption einführen müssen. Die Absorption wird als komplexe Komponente eingebracht$\omega(k)$und die Beziehungen zwischen reellen und komplexen (Streuung und Absorption) Komponenten werden Kramers-Kronig-Beziehungen genannt .

Überprüfen Sie diese Referenz aus dem Wiki für die formale Beschreibung der Details, wie die Kausalität mit diesen Dispersions-Absorptions-Gesetzen zusammenhängt.

Wenn wir eine Welle mit einer genau definierten Richtung und Frequenz haben, ist die Abhängigkeit des Feldes$F$(etwas, das winkt) auf Position und Zeit ist

$$F = F_0 \cos (\omega t - k_x x - k_y y - k_z z )$$ Erwachsene Physiker würden komplexe Exponentiale anstelle des Kosinus verwenden, aber ich habe mich entschieden, dieses möglicherweise schwierige Stück Mathematik zu entfernen.

Das Argument des Kosinus Modulo$2\pi$ist die "Phase". Aus dieser Phase wird die Gruppengeschwindigkeit extrahiert. In der Raumzeit zeichnet man die Hyperflächen konstanter Phase, dh

$$\omega t = \vec k \cdot \vec x$$ Zu einem festen $t$, dies ist eine Ebenengleichung. Wenn wir beobachten, was mit dieser Ebene im Laufe der Zeit passiert, bewegt sie sich in Querrichtung und die Geschwindigkeit der Bewegung dieser Ebene ist $$v_{ph} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega }{ k}$$ Das wird Phasengeschwindigkeit genannt, weil wir sie aus der Phase berechnet haben (indem wir uns angesehen haben, an welchen Stellen die Phase konstant ist und wie sich diese Stellen zeitlich bewegen).

Im Allgemeinen kann die Phasengeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit überschreiten, denn was sich tatsächlich durch die Phasengeschwindigkeit ausbreitet, ist „die Ebene, auf der die Phase konstant ist“, aber diese Ebene ist kein echtes physisches Objekt, das Informationen trägt. Es ist nur ein fiktiver Ort im Raum, der durch eine mathematische Eigenschaft definiert ist, "konstante Phase".

Die Tatsache, dass die Phasengeschwindigkeit überschreiten kann$c$ist analog zu der Beobachtung, dass, wenn wir im Zentrum einer großen Hohlkugel mit einer Lampe sitzen und die Lampe drehen, sich die beleuchtete Spur der Lampe auf der entfernten Innenfläche der Kugel möglicherweise schneller bewegt als$c$(es funktioniert sicher, wenn der Radius der Kugel groß genug ist). Aber wir übertragen nichts von einem Ort der Oberfläche zum anderen. Stattdessen geht das Licht vom Zentrum zu den verschiedenen Punkten der Oberfläche.

Andererseits misst die Gruppengeschwindigkeit die tatsächliche Ausbreitung materieller Objekte. Wir können ein "Wellenpaket" erzeugen, indem wir benachbarte Frequenzen kombinieren. Daraus lässt sich ableiten, dass sich das Zentrum eines solchen Wellenpakets mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreitet

$$v_g = \frac{d\omega}{dk}$$ und da dieses Paket ein lokalisiertes Objekt ist, das Informationen enthalten kann, verbietet die Relativitätstheorie dies $v_g$im Vakuum die Lichtgeschwindigkeit zu überschreiten $c$.