Wie wird die Energieerhaltung für elektromagnetische Wellen formuliert?

Ich denke, die Verwirrung hier ist viel einfacher. Lassen Sie einen Freund einmal pro Sekunde klatschen und stellen Sie sich in die Nähe. Jede Sekunde hören Sie ein Klatschen, gefolgt von Stille. Das bedeutet, dass die Energie der Schallwellen an Ihrem Ohr jede Sekunde ansteigt und dann abfällt. Bedeutet das, dass Energie „erscheint und verschwindet“? Natürlich nicht; es geht nur vorbei.

Ähnlich schwingen bei einer ebenen elektromagnetischen Welle die Felder im Raum,

$$E(x, t) \propto B(x, t) \propto \cos(kx-\omega t)$$ was bedeutet, dass die Energieverteilung in jedem Moment so aussieht $\cos^2(kx - \phi)$für eine Phase $\phi$. Das heißt, die Energie der Wellen kommt in regelmäßigen Klumpen, genau wie die Energie in den Schallwellen, die Ihr klatschender Freund erzeugt. (Diese Klumpen haben absolut nichts mit Photonen zu tun.) Dann kann die Energiedichte an einem Punkt natürlich steigen und fallen, wenn die Klumpen vorbeiziehen.

Die Energie des elektromagnetischen Feldes in einem Volumen$V$wird von gegeben

$$U=\iiint_{V}\left(\frac{\varepsilon_{0}|E|^2}{2}+\frac{|B|^2}{2\mu_{0}}\right)dV$$ und der Pointing-Vektor ist definiert als $$\vec{S}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_{0}}$$ Dies ist kein Durchschnittswert, sondern eine zeitabhängige Größe, die den Energiefluss des elektromagnetischen Feldes codiert. Die Energieerhaltung ist dann die Aussage $$\frac{\partial U}{\partial t}=-\iint_{\partial V}\vec{S}\cdot\vec{dA}$$ was bedeutet, dass die Energieänderung der Felder in einem Volumen $V$wird von einem Fluss in/aus diesem Volumen begleitet. Diese Gleichung gilt für alle Zeiten und beschreibt Momentanwerte und keine Durchschnittswerte.

Die Erhaltung ist hier eine Aussage über Veränderungen und nicht nur über Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt. Daher ist es in Ordnung, wenn beide Felder gleichzeitig verschwinden, solange sie woanders auftauchen oder in gewisser Weise „Trägheit“ haben. Dasselbe gilt für eine Saite: Zu manchen Zeitpunkten ist sie flach, hat aber Energie in Form einer Geschwindigkeit ungleich Null.

Der genaue Begriff der Erhaltung in der Feldtheorie wird durch das Konzept eines erhaltenen Stroms , dh eines Tensors, gegeben$j^\mu$befriedigend

$$\partial_\mu j^\mu=0$$

Wenn Sie diese Gleichung integrieren und das Stokes-Theorem verwenden, erhalten Sie

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V j^0\mathrm dV=\int_{\partial V} j^i\mathrm d\sigma_i$$ was Ihnen sagt, dass die zeitliche Änderung der integrierten Dichte $j^0$gleich dem Fluss von ist $\boldsymbol j$Verlassen des Integrationsvolumens. In diesem Sinne, und nur in diesem Sinne, ist eine feldtheoretische Strömung $j^\mu$konserviert.

Dieser Begriff der Erhaltung wird als lokal bezeichnet . Ein globales Erhaltungsgesetz sagt Ihnen nur, dass sich die Gesamtmenge von etwas nicht mit der Zeit ändert; das örtliche Erhaltungsgesetz hingegen ist viel restriktiver: Es sagt Ihnen, dass es in jeder Region des Weltraums konserviert wird. Wenn zum Beispiel ein elektrischer Dipol aus dem Nichts auftaucht, würde dies die globale Ladungserhaltung erfüllen, nicht aber die lokale. Aber die Natur bewahrt die Ladung lokal, so dass ein solches Phänomen nach den Gesetzen der Physik nicht zulässig ist. Dies wird von Feynman in seinem Vortrag schön betont .

Bei der Energieerhaltung ist der Strom der sogenannte Energie-Impuls-Tensor,$T^{\mu\nu}$, Wo$T^{00}$ist als Energiedichte zu denken, und$T^{0i}$als Energiefluss über die Oberfläche orthogonal zu$x^i$.

Im Fall der Vakuumelektrodynamik

$$T^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} \eta_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} \eta^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)$$ und ihre Erhaltung ist leicht als direkte Folge der Maxwell-Gleichungen zu sehen. Somit wird die elektromagnetische Energie jedes Systems lokal konserviert: Sie wird in jeder Region des Raums konserviert, unabhängig von ihrer Größe und ihrem Inhalt. Siehe auch diesen PSE-Beitrag .

Ich habe die gleichen Gedanken gehabt, als ich das elektromagnetische Feld unabhängig von seiner Quelle betrachtete:

wobei die Felder selbst aufgrund der Frequenz zu den entsprechenden Zeitpunkten auf Null abfallen. Wohlgemerkt, der Poynting-Vektor wird als Energieerhaltung zwischen der Erzeugung von Ladungen und elektromagnetischen Wellen abgeleitet .

Bearbeiten Sie nach dem Lesen der Antwort von knzhou :

Wenn wir in der Animation einen senkrechten Bereich zur Wanderwelle nehmen, sehen wir, dass sich die Energie in diesem Bereich mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, und die sinusförmige Variation der Energie der nachfolgenden Ebenen davon abhängt, wie die erzeugenden Ladungen die Welle als a erzeugt haben Funktion der Zeit.

Deutlich wird dies im Quantensystem, wo gezeigt werden kann , dass das elektromagnetische Feld aus der Überlagerung eines enormen Ensembles von Photonen entsteht.

Es gibt eine Wellenfunktion, die ein Photon beschreibt.

Die Überlagerung (nicht die Wechselwirkung wohlgemerkt) dieser Wellenfunktionen baut die elektrischen und magnetischen Feldfunktionen auf, die in der obigen Animation zu sehen sind. Im Bereich senkrecht zur Wellenrichtung breitet sich die Energie der Photonen mit der Geschwindigkeit c aus. Die Energie wird von den einzelnen Photonen als h * nu getragen, die E- und B-Feld-Manifestation ist die Überlagerung aller Wellenfunktionen der Photonen in diesem Bereich (eigentlich sollte es durch die Heisenberg-Unschärfe ein Volumen sein, aber wir wollen es nicht noch komplizierter machen) . Die folgenden Bereiche können unterschiedliche Energie haben.

Ich mag diese Illustration, wie Photonen eine polarisierte elektromagnetische Welle aufbauen können, Visualisierungen helfen mir dabei.