Warum unterscheiden sich die Zahlen der E-Serie von den Zehnerpotenzen?

Ich habe Ihre Frage wirklich genossen und sie definitiv aufgewertet. Ihre Frage hat mich dazu gebracht, darüber nachzudenken und etwas mehr über das Thema zu lesen. Und ich schätze wirklich, was ich aus dem Prozess gelernt habe und dass Sie diesen Prozess für mich angeregt haben. Vielen Dank!

Historischer Zusammenhang

Ich werde hier nicht zu den babylonischen Tagen zurückkehren. (Wahrscheinlich geht das ganze Konzept so weit zurück und noch weiter.) Aber ich fange vor etwa einem Jahrhundert an.

Charles Renard schlug einige spezifische Möglichkeiten vor, Zahlen zum Teilen von (Dezimal-)Intervallen anzuordnen. Er konzentrierte sich darauf, einen Dekadenbereich in 5-, 10-, 20- und 40-Schritte zu unterteilen, wobei der Logarithmus jedes Schrittwerts eine arithmetische Reihe bilden würde. Und diese wurden als R5, R10, R20 und R40 bekannt. Natürlich gibt es viele andere Entscheidungen, die man treffen könnte. Aber das waren damals seine.

Offensichtlich kann ein Dekadenbereich auf viele Arten unterteilt werden (und außerdem müssen Sie sich auch nicht auf einen Dekadenbereich konzentrieren). Eine Erweiterungsidee, die ich gesehen habe, verwendete Renard-Nummerierungssysteme von R10/3, R20/3 und R40/3. Diese wurden so interpretiert, dass Sie sich auf den R10-, R20- und R40-Dekadenserienansatz verlassen würden, aber die Werte schrittweise um jeweils drei erhöhen würden. So bedeutet zum Beispiel R20/3, Zahlen basierend auf R20 zu entwickeln, aber nur jeden 3. Term auszuwählen:$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$,$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$,$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$,$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$,$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$,$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$, und$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$. Sie schlugen auch vor, wenn Sie nach schönen Schritten suchen, nur zwischendurch$10$und$40$dann könnten Sie nur die ersten paar dieser Menge verwenden: 10, 14, 20, 28 und 40.

Wenn Sie weiterlesen möchten, finden Sie obiges und noch viel mehr in einer Veröffentlichung namens NBS Technical Note 990 (1978) . (Das National Bureau of Standards [NBS] ist jetzt NIST.)

In der Zwischenzeit, nach dem Zweiten Weltkrieg, gab es einen starken Schub in Richtung Standardisierung von gefertigten Teilen. Daher haben verschiedene Gruppen zu verschiedenen Zeiten ziemlich hart daran gearbeitet, Standardwerte zu "rationalisieren", um die Herstellung, Instrumentierung, die Anzahl der Zähne an Zahnrädern und ... na ja, fast alles zu unterstützen.

Überfliegen Sie die E-Serie der Vorzugsnummern und beachten Sie die zugehörigen Dokumente und deren Verlauf. Die Dokumente, auf die auf dieser Wikipedia-Seite verwiesen wird, behandeln jedoch nicht, wie diese bevorzugten Nummern ausgewählt wurden. Dafür gibt es „ISO 497:1973, Leitfaden zur Auswahl von Reihen bevorzugter Nummern und von Reihen mit stärker gerundeten Werten bevorzugter Nummern“. und auch "ISO 17:1973, Leitfaden zur Verwendung von Vorzugsnummern und Serien von Vorzugsnummern". Ich habe keinen Zugriff auf diese Dokumente, also konnte ich sie nicht lesen, obwohl insbesondere ISO 497:1973 eine gute Anlaufstelle zu sein schien.

E-Serie (geometrisch)

Ich habe noch keine Einzelheiten über den genauen Algorithmus gefunden, der vor einigen Jahrzehnten für die von Ihnen gestellte Frage angewendet wurde. Die Idee, "Zahlen zu rationalisieren", ist keine schwierige Idee, aber der genaue Prozess, der angewendet wurde, übersteigt bei weitem meine Fähigkeit, sich beim Reverse-Engineering sicher zu sein. Und ich war nicht in der Lage, ein historisches Dokument aufzudecken, das dies offenbarte. Einige der Elemente können nur ans Licht gebracht werden, wenn die vollständigen Dokumente in Bezug auf ihre endgültigen Entscheidungen vorliegen. Und ich habe diese Dokumente noch nicht gefunden. Aber ich bin zuversichtlich, dass ich herausfinden konnte, wie ihr Prozess für die Widerstandsfrage gewesen sein muss.

Eines der Dinge, die in NBS Pub erwähnt werden. 990, ist die Tatsache, dass Differenzen und Summen von Vorzugsnummern nicht selbst Vorzugsnummern sein sollten . Dies ist ein Versuch, andere Werte im Dekadenbereich abzudecken, wenn explizite Werte einen Bedarf nicht erfüllen (durch Verwendung von zwei Werten in einer Summen- oder Differenzanordnung).

Denken Sie daran, dass diese Abdeckungsfrage für Serien wie E3 und E6 wichtiger ist und beispielsweise für E24, die direkt viele dazwischenliegende Werte enthält, fast überhaupt nicht wichtig ist . In Anbetracht dessen ist das Folgende mein Denken über ihr Denken. Vielleicht weicht es nicht zu weit von der eigentlichen Begründung für ihren Prozess der „Rationalisierung“ von Werten und der endgültigen Entscheidung über die bevorzugten Werte ab, für die sie sich letztendlich entschieden haben.

Meine Begründung

Es gibt ein sehr schönes, einfaches Blatt, das die Werte der E-Serie für Widerstände zusammenfasst: Vishay E-Series .

Hier ist mein Bild der zweistelligen Werte der E-Serie, das auch die berechneten Werte enthält:

Hier ist mein Prozess angesichts des oben Gesagten, von dem ich glaube, dass er zumindest ähnlich der vor vielen Jahren verwendeten Argumentation sein könnte:

1. Die Idee der Abdeckung ist für E3 am wichtigsten und für E24 am wenigsten entscheidend. Ein kurzer Blick auf E3 deutet auf ein Problem mit den gerundeten Werten von 10, 22 und 46 hin. Sie sind alle gerade Zahlen und es gibt keine Möglichkeit, ungerade Zahlen nur aus geraden Zahlen zusammenzusetzen. Also muss sich eine dieser Nummern ändern. Sie können 10 nicht ändern. Und um eine zu ändern, sind die einzigen verbleibenden zwei Möglichkeiten: (1) 10, 22, 47; oder (2) 10, 23, 46. Aber Option (2) hat ein Problem: Der Unterschied zwischen 46 und 23 ist 23, was selbst eine Zahl in der Sequenz ist. Und das ist Grund genug, Option (2) zu streichen. Damit bleibt nur die Option (1) 10, 22 und [47]. Dies bestimmt also E3. (Ich verwende [], um modifizierte Sequenzwerte einzuschließen, und <>, um Werte einzuschließen, die aus der vorherigen Sequenz erhalten bleiben müssen.)
2. Für E6 muss es die Wertauswahl von E3 beibehalten und seine eigenen Werte dazwischen einfügen. Nominell ist E6 dann <10>, 15, <22>, 32, [47] und 68. Die Differenz zwischen 32 und 22 ist jedoch 10 und dies ist einer der Werte, die bereits in der Sequenz enthalten sind. Außerdem ist 47 minus 32 15. Auch hier ist 32 in eine Problemsituation verwickelt. Weder 22 noch 47 können geändert werden (sie werden vererbt). Daher besteht die offensichtliche (und einzige) Wahl darin, die E6-Sequenz auf <10>, 15, <22>, [33], [47] und 68 anzupassen. Die Differenz- und Summenwerte decken nun auch ab .
3. Für E12 muss es die Wertauswahl von E6 beibehalten und seine eigenen Werte einfügen. Nominell ist E12 dann <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> und 83. Die Zahl 83 hat schon ein Problem, denn 83 minus 68 ist 15 und das steht schon in der Folge. 82 ist die nächste Alternative. Außerdem ist die Spanne zwischen 22 und 26 4, während die Spanne zwischen 26 und 33 7 ist. Die Spannen sollten grob gesagt monoton ansteigend sein. Diese Situation ist ernst und die einzige Möglichkeit besteht darin, 26 auf die nächstliegende Auswahl, 27, einzustellen. Die Sequenz ist jetzt <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> und [82]. Aber wir haben wieder ein Problem mit 38, mit einer vorangehenden Spanne von 5 und einer folgenden Spanne von 9. Auch hier besteht die einzige Lösung dafür darin, 38 an die nächstliegende Wahl, 39, anzupassen.
4. E24 durchläuft einen ähnlichen Prozess. Es beginnt nominell wie folgt: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] und 91. Ich denke, Sie können jetzt die Logik anwenden, die ich zuvor angewendet habe, und das Finale erhalten Folge von (ohne das <> fallen zu lassen, aber das []-Anzeigefeld beizubehalten): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] und 91.

Ich denke, Sie werden zustimmen, dass dieser Prozess rational ist und direkt zu dem führt, was wir heute sehen.

(Ich bin nicht die Logik durchgegangen, die auf alle 3-stelligen Werte der E-Serie angewendet wird: E48, E96 und E192. Aber ich denke, es gibt bereits genug oben und ich glaube, es wird sich ähnlich entwickeln. Wenn Sie etwas anders finden , ich schaue mir das auch gerne an.)

Der abschließende Rationalisierungsprozess hin zu bevorzugten Nummern sieht dann etwa so aus:

Oben sehen Sie, welche Schritte erforderlich sind und wo die Änderungen vorgenommen und wie sie dann weitergeführt werden (natürlich von rechts nach links gelesen).

Relevante Hinweise

• Die Summe oder Differenz von Vorzugszahlen neigt dazu, möglichst keine Vorzugszahl zu sein. Dies ist erforderlich, um eine möglichst umfassende Abdeckung zu gewährleisten.
• Das Produkt oder der Quotient oder jede ganzzahlige positive oder negative Potenz von Vorzugszahlen ist eine Vorzugszahl.
• Das Quadrieren einer bevorzugten Zahl in der E12-Reihe ergibt einen Wert in der E6-Reihe. In ähnlicher Weise erzeugt das Quadrieren einer bevorzugten Zahl in der E24-Reihe einen Wert in der E12-Reihe. Usw.
• Das Ziehen der Quadratwurzel einer bevorzugten Zahl in der E12-Reihe erzeugt einen Zwischenwert in der E24-Reihe, der in der E12-Reihe nicht vorhanden ist. In ähnlicher Weise erzeugt das Ziehen der Quadratwurzel einer bevorzugten Zahl in der E6-Reihe einen Zwischenwert in der E12-Reihe, der in der E6-Reihe nicht vorhanden ist. Usw.

Das Obige trifft genau zu, wenn die theoretischen Werte anstelle der bevorzugten Werte verwendet werden. (Die bevorzugten Werte wurden angepasst, daher wird es aufgrund dieser Tatsache zu Abweichungen kommen, wobei bevorzugte Werte anstelle der genauen Werte verwendet werden.)

Interessante Frage, die mich dazu veranlasste, mich zu vertiefen und etwas über die Geschichte der Probleme und die Gründe für bevorzugte Nummern zu erfahren, die ich zuvor nicht so vollständig verstanden hatte.

So danke!

Fußnote : Dieser Beitrag steht im Zusammenhang mit einem anderen, den ich hier hinzugefügt habe .