Warum wird bei der Berechnung der Durchschnittsleistung der quadratische Mittelwert verwendet und nicht einfach der Durchschnitt von Spannung/Strom?

Nehmen Sie ein einfaches Beispiel, bei dem die Summen trivial sind. Ich habe eine Spannung, die 50% der Zeit an und 50% der Zeit aus ist. Im eingeschalteten Zustand sind es 10 V. Die mittlere Spannung beträgt somit 5V. Wenn ich einen Widerstand von 1 Ohm darüber schließe, verbraucht er 100 W, wenn er eingeschaltet ist, und 0 W, wenn er ausgeschaltet ist. Die durchschnittliche Leistung beträgt somit 50W.

Lassen Sie nun die Spannung die ganze Zeit eingeschaltet, aber stellen Sie sie auf 5 V ein. Die durchschnittliche Spannung beträgt immer noch 5 V, aber die durchschnittliche Leistung beträgt nur 25 W. Hoppla.

Oder angenommen, ich habe die Spannung nur 10% der Zeit, aber es sind 50 V. Die durchschnittliche Spannung beträgt wieder 5 V, aber die Leistung beträgt 2500 W im eingeschalteten Zustand und 0 W im ausgeschalteten Zustand, also 250 W im Durchschnitt.

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In der Realität müssen Sie zur Berechnung der Leistung im Allgemeinen (Momentanspannung) * (Momentanstrom) über einen Zeitraum der Wellenform integrieren, um den Durchschnitt zu erhalten (oder von 0 bis zu einem bestimmten Zeitpunkt t, wie in Ihrem Beispiel, um die Leistung über ein bestimmtes Intervall zu ermitteln). .

Wenn (und es ist ein großes Wenn) die Last ein fester Widerstand R ist, können Sie sagen, dass v = i * R, die Momentanleistung also i ^ 2 * R ist, und Sie können i ^ 2 über den Zeitraum integrieren, um die " Effektivstrom" und später mit R multiplizieren (da es fest ist, geht es nicht in das Integral ein).

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RMS-Strom ist nicht besonders nützlich, wenn die Last etwas nichtlineares wie eine Diode ist. Es kann nützlich sein, um Verluste in etwas wie einem Kondensator mit einem bestimmten ESR zu analysieren. Die Verluste (und der daraus resultierende Erwärmungseffekt, der die Lebensdauer des Kondensators verkürzt) sind proportional zum Effektivstrom, nicht zum Durchschnitt.

Damit die Leistung durchschnittlich ist, muss ich der durchschnittliche Strom sein, also vermute ich, dass der effektive Strom der durchschnittliche Strom ist.

Kurz gesagt, durchschnittliche Spannung x durchschnittlicher Strom entspricht nur dann der durchschnittlichen Leistung, wenn Spannung und Strom Gleichstromgrößen sind. Denken Sie an folgendes Beispiel: -

Wenn Sie 230 V Wechselstrom von Ihrer Netzsteckdose an ein Heizelement anlegen, wird es warm oder sogar heiß. Es nimmt Strom, der Ihnen in Rechnung gestellt werden kann. 230 V AC ist eine Sinuswelle und alle Sinuswellen haben einen Durchschnittswert von Null. Der resultierende Strom, der durch das Heizelement fließt, ist ebenfalls eine Sinuswelle mit einem Mittelwert von Null.

Die Verwendung der durchschnittlichen Spannung x des durchschnittlichen Stroms erzeugt also eine durchschnittliche Leistung von null, und das ist eindeutig falsch. Es ist Effektivspannung x Effektivstrom, die eine aussagekräftige Antwort geben wird (unabhängig davon, ob es sich um Gleichstrom oder Wechselstrom handelt).

Sie müssen zu den Grundlagen zurückkehren und sich fragen, was Leistung ist - es ist Spannung x Strom, und das sind Momentanwerte, die miteinander multipliziert werden. Dies führt zu einer Leistungswellenform wie dieser: -

Aufgrund des Multiplikationsvorgangs hat die Leistungswellenform jetzt einen Durchschnittswert, der nicht Null ist . Geht man noch einen Schritt weiter, wenn der Lastwiderstand 1 Ohm wäre, dann entspricht die Amplitude des Stroms der Amplitude der angelegten Spannung, sodass die Leistung der Durchschnitt von wird$v^2$.

Dies führt uns zu der Aussage, dass Leistung the mean of the square of voltage(oder Strom) ist, und da wir in diesem Beispiel 1 Ohm gewählt haben, können wir auch sagen, dass die Effektivspannung , die diese Leistung erzeugt, der square root of the mean of the voltage squaredoder der „RMS“-Wert ist.

Also für eine Sinuswelle mit Spitzenamplitude$v_{pk}$, die Spitze der Machtwelle ist$v^2_{pk}$und da die von einer quadrierten Sinuswelle erzeugte Leistungswelle auch eine Sinuswelle ist (mit der doppelten Frequenz), ist der durchschnittliche (mittlere) Wert: -

$\dfrac{v^2_{pk}}{2}$. Ziehen Sie dann die Quadratwurzel, um die effektive Spannung zu erhalten, die wir erhalten$\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$oder$\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Tatsächlich ist der RMS-Wert einer Wechselspannung (oder eines Stroms) der äquivalente Wert einer Gleichspannung (oder eines Gleichstroms), der den gleichen Heizeffekt in einer ohmschen Last erzeugt.

Also nein, die durchschnittliche Spannung oder der durchschnittliche Strom sind irrelevant, aber die durchschnittliche Leistung ist König.

Der Teufel steckt im Detail, wenn Sie die Mathematik ausarbeiten.

Angesichts dieser sofortigen Kraft$P_\text{inst} = i^2 \cdot R$, dann ist die mittlere Leistung:

$$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$$

Der effektive Gleichstrom ist derjenige, der die gleiche mittlere Leistung abführt

$$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$$ dann folgt: $$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$$ $$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$$

Wenn Sie sich die durchschnittliche Spannung/Stromstärke und die RMS-Spannung/Stromstärke ansehen, unterscheiden sie sich aufgrund der Eigenschaften von Integralen. Mit anderen Worten,

$$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$$ Wenn diese Eigenschaft wahr wäre, könnte das Quadrat aus dem Integral herausgezogen und mit der Quadratwurzel gestrichen werden.

Hinzu kommt das Problem der$\frac{1}{T}$unter der Quadratwurzel, was ebenfalls Probleme verursachen würde.

Zusammenfassend liegt es daran, dass die Mathematik nicht so aufgeht.

Die durchschnittliche Leistung ist einfach das Integral der Arbeit über einen endlichen Zeitraum geteilt durch diesen Zeitraum. Für Ihren Fall ist jeder Arbeitsmoment:

$$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Sie integrieren das also, um die Gesamtarbeit für einen endlichen Zeitraum zu erhalten, und um das dann in einen durchschnittlichen Leistungswert umzuwandeln, teilen Sie es einfach durch den endlichen Zeitraum. Oder:

$$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Wenn$R_t$eine Konstante über die Zeit ist, dann gilt:

$$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$$

Aber wenn man jetzt irgendeinen fiktiven Effektivstrom konstruieren will , passt das$R\cdot I_{eff}^2$Modell, dann muss durch einfache Betrachtung der obigen Gleichung gelten:

$$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$$

Es ist nur eine äquivalente Substitution, richtig?

Und dann offensichtlich:

$$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$$

Wenn Sie die Dinge so anfangen$t_0=0$und einstellen$t_1=t$dann bekommst du deine eigene gleichung. So einfach ist das wirklich.

Stellen Sie sich vor, zwei Ströme fließen gleichzeitig durch Ihre Last:

• Gleichstrom von 1A
• Wechselstrom mit 1A Amplitude

Der Gesamtstrom sieht in etwa so aus:

Nun, wenn wir Ihre Formel für anwenden$I_{eff}$, erhalten wir 1A, als ob die AC-Komponente keine Leistung erzeugen würde. Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass dies noch weniger Sinn macht als die ursprüngliche Formel.

Erwägen$R=1\Omega$und ein Strom von 1 A für eine Sekunde und 10 A für eine weitere Sekunde. Was ist die durchschnittliche Leistung?

Offensichtlich ist es das

$$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$$

Schreiben wir das um:

$$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$$

Andererseits beträgt der durchschnittliche Strom 5,5 A, was eine "durchschnittliche Leistung" von 30,25 W ergibt.

Der Punkt ist, dass die Leistungsformel das Quadrat des Stroms enthält, sodass der effektive Strom höher ist als nur der Durchschnitt des (absoluten Werts) des Stroms.

Lassen Sie es mich allgemeiner ausdrücken: Die über eine Last abgeführte Momentanleistung P(t) ist ein Produkt (im mathematischen Sinne als Multiplikation) von V(t) und I(t). Oder I(t)*I(t)/R für diese Angelegenheit. Die durchschnittliche Leistung ist daher ein Durchschnitt [I(t)*I(t)]/R. Das Paradoxon liegt in dem bekannten mathematischen Theorem, dass ein Mittelwert eines Produkts variabler Funktionen ungleich dem Produkt ihrer Mittelwerte ist.

[(V(t)I(t)] != [V(t)]*[I(t)];

entsprechend,

[I(t)^2] != [I(t)]*[I(t)]

Um dieses grundlegende Rechenproblem etwas extrem zu veranschaulichen, nehmen Sie an, dass Sie eine Widerstandslast von 1 Ohm haben und die Spannung als 10 V für 10 % Tastverhältnis, 10 % oben, 90 % keine Spannung gepulst wird. Die tatsächliche Verlustleistung beträgt 10 V * 10 A = 100 W für 10 % des Arbeitszyklus und Null für den Rest des Arbeitszyklus. Die durchschnittliche Verlustleistung dieses Widerstands beträgt also 10 W.

Wenn Sie nun die Durchschnittswerte separat mit separaten Messgeräten nehmen (oder sogar messen!), ergibt sich der Durchschnitt [V] dieser gepulsten Wellenform als 1 V und der Durchschnitt von I als 1 A. Durch Multiplikation der gemessenen Ergebnisse könnte man zu dem Schluss kommen, dass die Leistungsaufnahme dieses "Geräts" nur 1 W beträgt, was um den Faktor 10 völlig falsch ist !!!.

Dies ist ein typischer Fehler in vielen Disziplinen und Anwendungen. Dieser Fehler liegt beispielsweise vielen falschen Behauptungen einiger magischer Warmwasserbereiter zugrunde, die mehr Leistung erzeugen als die "verbrauchte Elektrizität", die normalerweise durch "kalte Fusion" oder andere BS erklärt wird. Es gibt sogar Patente auf diese "gepulsten Heizgeräte".