Was ist die barometrische Formel für einen Gasriesen?

Diese Formel geht von einer konstanten Gravitationsbeschleunigung über die gesamte Höhe der Gassäule aus - eine vernünftige Annahme für die Erde, da die Atmosphäre im Vergleich zur Größe des Planeten dünn ist.

Für ein einfaches Argument : Wenn Sie davon ausgehen, dass die Zusammensetzung gleich ist, ist es klar, dass die Höhenänderung, die erforderlich ist, damit sich der Druck um einen bestimmten Faktor ändert, auf Jupiter geringer ist als auf der Erde. Die Schwerkraft ist stärker und der Radius des Jupiter ist größer. Beide Faktoren führen zu einer kleineren charakteristischen Höhe für die Atmosphäre. Das gibt einen Hinweis darauf, dass das obige Zitat möglicherweise weniger korrekt ist als die umgekehrte Behauptung. Aber es gibt noch viel mehr Komplikationen.

Offensichtlich hat Jupiter viel mehr leichtes Gas in seiner Atmosphäre als die Erde. Dies liegt zum Teil daran, dass die Schwerkraft der Erde nicht perfekt darin ist, Wasserstoff gegen die Strahlung im Weltraum zu halten. Das drückt also in die andere Richtung – wodurch Jupiters Atmosphäre eine längere charakteristische Länge hat.

Aber die charakteristische Länge ist nicht die ganze Geschichte. Offensichtlich hat die Erde ein schönes (vereinbartes) Bodenniveau. Jupiter könnte eine Phasenänderung haben, die dieser vage ähnelt, aber selbst wenn es eine abrupte Dichteänderung gibt, wird es nicht so sein wie die Erde. Das wirft also die Frage auf, wie wir den Bereich der Jupiteratmosphäre überhaupt definieren sollen. Könnten wir internen metallischen Wasserstoff im Zentrum als "Atmosphäre" akzeptieren? Wahrscheinlich nicht, aber das ist nur der extremste Fall.

Differentialgleichungen, die das System korrekt beschreiben, finden Sie in anderen Antworten. Der Vollständigkeit halber sind es:

Aber gehen wir auf die Lösungen für Sonderfälle ein, denn ich denke, das OP fordert dies. Bei konstanter Schwerkraft, ideal einheitlichem Gas und konstanter Temperatur folgt der atmosphärische Druck:

Wo$H$Hier ist die charakteristische Länge. Für die Erde sind dies etwa 7,4 km. Es hängt von der Temperatur ab, also ist es immer im Fluss.

Wenn wir nun die Gezeitenkomponente der Schwerkraft hinzufügen , können wir einen neuen Ausdruck erhalten. Dies setzt voraus, dass a$\frac{1}{r^2}$Form der Schwerkraft, statt einer Konstante. In diesem Fall ergibt die Lösung der Differentialgleichung folgenden Druckverlauf :

wo$H$die gleiche charakteristische Länge hat.$r_0$ist der Radius des Planeten selbst, und$r$(Radius) ersetzt$h$(Höhe). Diese Gleichung ist genau für den speziellen Fall von:

1. konstante Temperatur
2. konstante Zusammensetzung (homogen)
3. Der Beitrag der Luft selbst zum Gravitationsfeld kann vernachlässigt werden

1 und 2 sind offensichtlich schreckliche Annahmen. Für alle Planeten gibt es tendenziell ein lokales Temperaturminimum in der Atmosphäre, und tiefer drinnen wird die Temperatur um ein Vielfaches höher sein, was eine Größenordnung dafür angibt, wie schlecht die Annahme einer konstanten Temperatur ist.

Die Homogenitätsannahme ist auch sehr schlecht, weil sich die Gase subtil schichten. Es ist nicht wie bei der Öl-Wasser-Trennung, aber je höher Sie gehen, desto höher wird die Konzentration der leichteren Elemente sein. Tatsächlich ist dies eine wichtige Begründung dafür, warum die Atmosphären der Gasriesen von vornherein aus so reinem Wasserstoff und Helium bestehen.

Nichtsdestotrotz ist diese Druckgleichung technisch immer noch besser als die Annahme einer konstanten Schwerkraft. Aber das ist nicht das relevanteste auf Jupiter. Tatsächlich ist es wahrscheinlich relevanter für eine Korrektur auf der Erde.

Für eine kugelsymmetrische Massenverteilung im hydrostatischen Gleichgewicht gilt:

${dP\over dr}=-g\rho$

wo$P$ist der Druck,$r$ist der Radius,$g$ist die Erdbeschleunigung als Funktion von$r$, und$\rho$ist die Dichte des Gases als Funktion von$r$.

Dann integrieren Sie von einigen bekannten Bedingungen nach oben oder unten.

$g$als Funktion von$r$ist einfach, da wir von einer kugelsymmetrischen Massenverteilung ausgehen.$g$hängt nur von der darunter liegenden Masse ab$r$. So$g={Gm(r)\over r^2}$, wo$m(r)$ist die Masse des Körpers unten$r$. So,$m(r)=\int_0^r\rho(r)\,4\pi r^2dr$.

Zuletzt benötigen Sie eine Zustandsgleichung$P$und$\rho$. Am einfachsten ist es für ein ideales Gas, abgeleitet aus der guten alten Zeit$PV=nRT$, welches ist$P=\rho{kT\over\mu}$.$\mu$ist die Molekülmasse und$T$ist die Temperatur.$k$ist die Boltzmann-Konstante.

Wie in der Frage erwähnt, führen Zustandsänderungen erwartungsgemäß zu völlig anderen Zustandsgleichungen. Beachten Sie, dass verschiedene Arten bei unterschiedlichen Temperaturen und Drücken Zustandsänderungen erfahren, sodass die tatsächliche Zustandsgleichung ziemlich kompliziert werden kann. Aber das ideale Gasgesetz ist gut genug, um ein Gefühl für das allgemeine Verhalten in einem veränderlichen Schwerefeld zu bekommen.

Wenn Sie von einer gut durchmischten Atmosphäre ausgehen (die nicht unbedingt mit dem hydrostatischen Gleichgewicht übereinstimmt), können Sie dies in Betracht ziehen$\mu$eine Konstante sein. Sie brauchen nur noch ein Temperaturprofil,$T(r)$um die Integration zu machen.

Das Temperaturprofil ist wichtig. Sie können keine konstante Temperatur annehmen, außer bei kleinen Höhenänderungen. Unten ist ein Diagramm von Temperaturprofilen von dieser Seite :

Noch etwas zu bedenken: Wenn Sie es mit den Gasgiganten zu tun haben, haben Sie nichts mehr, was auch nur im Entferntesten einem perfekten Gas gleicht.

Vor langer Zeit habe ich eine Brute-Force-Berechnung des Drucks und der Dichte der Atmosphäre in einem Loch durch die Erde durchgeführt. Die Antworten sind verrückt – in Wirklichkeit wird das Gas auf flüssige Dichte komprimiert und hört auf, dem Gasgesetz zu folgen.

Für das, was es wert ist:
Verwenden von Zahlen, die sich dem Uranus annähern (Atmosphäre nur 350 km tief, relativ niedriges lokales g, Kälte, 100 bar an der unteren Grenze der Atmosphäre) und Ignorieren der Schwerkraft aus der Atmosphäre selbst - Einsetzen derselben Zahlen in die barometrische Formel und die Eins von Alan gegeben (unter der Annahme einer konstanten Temperatur), würde der Unterschied am oberen Rand der Atmosphäre etwa 6% betragen. Der Unterschied wird größer mit höherem g, kälterer Temperatur und einem kleineren Radius am Boden der Atmosphäre.