Was ist die charakteristische Zeit zum Erreichen einer hyperbolischen Übergeschwindigkeit innerhalb eines Einflussbereichs?

tl; dr: Für eine Reise von der Erde zum Mars erhalte ich eine Geschwindigkeit, die 1% größer ist als$v_{\infty}$an Punkt etwa 70% auf dem Weg zum SOI der Erde.

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Die Frage betrifft das Verlassen eines Planeten und das Fortfahren mit dem interplanetaren Transfer, und da der Begriff "Einflusssphäre" verwendet wird, wird vermutlich die Annäherung an geflickte Kegelschnitte angenommen, sodass wir uns die Erde als einzige Quelle der Schwerkraft vorstellen und darin arbeiten können das Ruhesystem der Erde.

Die vis-viva-Gleichung gibt uns alles, was wir brauchen.

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).$$

Gehen wir von einer Kreisbahn in LEO mit einem Radius aus$a_0$, die Geschwindigkeit ist

$$v_{LEO}=\sqrt{\frac{GM_E}{a_0}.}$$

Nach einem treibenden$\Delta v$die Geschwindigkeit ist

$$v_0 = v_{LEO} + \Delta v.$$

Ordnen Sie das Vis-Viva neu an, um es nach der neuen großen Halbachse der Hyperbel zu lösen:

$$a_{hyp}=1/\left(\frac{2}{a_0}-\frac{v_0^2}{GM_E}\right).$$

Bei einer hyperbolischen Umlaufbahn ist die große Halbachse negativ.

Jetzt können Sie die Geschwindigkeit (eigentlich Geschwindigkeit) in jeder Entfernung r erhalten:

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right),$$

$$v(r)=\sqrt{GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right)},$$

und unter der Grenze von$r \rightarrow \infty$wir bekommen$v_{\infty}$

$$v_{\infty}= \sqrt{\frac{GM_E}{-a_{hyp}}}.$$

Übrigens, wenn Sie kinetische und potentielle Energie eines Raumfahrzeugs mit Masse berechnen möchten$m$in jeder Entfernung$r$Sie können einfach verwenden:

$$T(r)=\frac{1}{2}mv^2(r),$$

$$U(r)=\frac{-GM_E m}{r},$$

und die Summe der beiden sollte konstant bleiben. Das ist eigentlich die Seele der Vis-Viva-Gleichung!

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OK, jetzt geben wir ein paar Zahlen ein;

$GM_E$= 3,986E+14 m^3/s^2

$GM_S$= 1,327E+20 m^3/s^2

$a_0$= 6.378.000 + 250.000 Meter

$\Delta v$= 5,7000 m/s

$AU$= 1,5E+11 Meter

$R_{SOI} = AU\left(\frac{GM_E}{GM_S} \right)^{2/5}$~ 9.27E+08 Meter

Ich bekomme$v_{\infty}$von etwa 7.795 m/s und einer Geschwindigkeit von 1 % darüber in einer Entfernung von 655.000 km von der Erde oder etwa 70 % des Weges zum Rand der Kugel.

Null.

Die eigentliche Übergeschwindigkeit wird unmittelbar beim Verlassen des Einflussbereichs des Planeten erreicht. Seitdem beginnt sich die Geschwindigkeit (in eine willkürliche Richtung) hauptsächlich entsprechend dem Einfluss des Körpers zu ändern, in dessen Einflussbereich das Fahrzeug eingetreten ist.

Das ist natürlich eine Vereinfachung - tatsächlich beeinflussen beide (wie auch alle anderen) Körper die Geschwindigkeit zu jeder Zeit, es ist nur so, dass der stärkste Einfluss von dem Körper kommt, in dessen SOI Sie sich befinden, aber zum Zweck dieser Erklärung nehmen wir an Gepatchte Kegelschnitte statt N-Körper-Modell; der Unterschied ist für diesen Zweck strittig.

Da Sie sich immer in einem SOI befinden, ist es sinnlos, an "wahre Übergeschwindigkeit" relativ zu einem SOI zu denken, nachdem Sie Wege durch einen anderen SOI zurückgelegt haben. Sie haben die (eine, tatsächliche, wahre) überschüssige Geschwindigkeit beim Erreichen der Kante, dann haben Sie nur die Geschwindigkeit im anderen SOI, und es kann sehr unterschiedlich sein, und Sie erhalten möglicherweise immer noch die relative Geschwindigkeit zum ersten Körper, wenn Sie ' Ich bin geneigt dazu, aber es wird kein speziell "wahres" sein, es wird nur ein anderes sein.

Angenommen, Sie entkommen Moon SOI auf der Free Return-Flugbahn. Was wird die "wahre Übergeschwindigkeit" sein, wenn Sie sich auf einer Erd-Wiedereintrittsbahn befinden? Zu welcher Geschwindigkeit sollen wir den Fehler relativ berechnen?

Und selbst wenn Sie in den Weltraum gehen, aus dem Sonnensystem in Richtung Proxima Centauri aussteigen, bleiben Sie im SOI der Sonne bis ungefähr zur Hälfte, wenn Sie in Proximas SOI eintreten - und an diesem Punkt verlieren Sie nicht mehr an Geschwindigkeit als Sie werden von Proxima angezogen.