Sicher, es ist eine Annäherung. Perfekte Kegelbahnen treten nur in 1- oder 2-Körper-Systemen auf, ein 2-Körper-System kann auf ein äquivalentes 1-Körper-System reduziert werden. Wenn$n>2$In einem n-Körper-System können die Trajektorien ziemlich chaotisch werden, und Sie benötigen meistens eine numerische Integration, um sie richtig zu berechnen, außer in Sonderfällen.

Der ganze Sinn der Verwendung von Einflusssphären besteht darin, diese unordentlichen n-Körper-Berechnungen so weit wie möglich zu vermeiden. Wir unterteilen den Weg des Raumfahrzeugs in Abschnitte, und in jedem Abschnitt betrachten wir nur die Schwerkraft relativ zum aktuellen Einflussbereich. Wir kombinieren alles zusammen unter Verwendung der Patched Conic Approximation .

Wenn wir ein Raumschiff in eine Umlaufbahn um die Erde bringen, ist seine Flugbahn relativ zur Erde (fast) eine Ellipse. Seine Bahn relativ zur Sonne ist eine leicht gestörte Version der Umlaufbahn der Erde um die Sonne. Die Umlaufgeschwindigkeit der Erde beträgt ~30 km/s und die Umlaufgeschwindigkeit von LEO etwa 7,8 km/s, aber der Umlaufradius der Erde um die Sonne (1 AE) beträgt etwa das 22.700-fache des Umlaufradius des Raumfahrzeugs um die Erde. Wenn Sie die Umlaufbahnen der Erde und des Fahrzeugs relativ zur Sonne darstellen, sehen sie identisch aus, es sei denn, Ihr Bildschirm ist > 22.700 Pixel breit. ;)

Um also einen Hohmann-Transfer für das Fahrzeug von der Erdumlaufbahn in (sagen wir) die Marsumlaufbahn zu berechnen, können wir eine ziemlich gute Annäherung erhalten, indem wir so tun, als ob das Fahrzeug auf einer standardmäßigen konischen Sonnenumlaufbahn mit etwas zusätzlicher Geschwindigkeit startet.

Fluchtgeschwindigkeit ist$\sqrt2$mal die Kreisbahngeschwindigkeit bei diesem Radius. Wenn das Fahrzeug also zu Beginn des Hohmann-Transfers die Erdumlaufbahn verlässt, ist seine Geschwindigkeit relativ zur Erde hyperbolisch, aber seine Geschwindigkeit relativ zur Sonne ist sicherlich elliptisch, da es sich auf einer Hohmann-Ellipse bewegt.

Dies ist der Unterschied zwischen Zwei-Körper-Annäherungen und der Mehrkörper-Realität.

"Einflusssphären" gibt es nicht wirklich. Sie können eine Region zeichnen (die keine Kugel ist), in der ein großer, isolierter Körper wie ein Planet einen größeren Gravitationseinfluss hat als jeder andere, aber tatsächlich hat jedes Objekt im Universum zumindest einen kleinen Einfluss auf jedes andere Objekt , und man wechselt nahtlos von "andere Dinge als die Erde sind kaum wichtig" zu "andere Dinge als die Sonne sind kaum wichtig".

Es ändert sich allmählich

Wenn Sie in der Nähe der Erde fokussieren, sieht die Fluchtbahn sehr ähnlich aus wie eine Hyperbel (leicht gestört durch den Mond und die Tatsache, dass die Erde nicht perfekt kugelförmig ist). Wenn Sie herauszoomen, wird die Sonne immer wichtiger und der lange, fast gerade Schwanz der erdzentrischen Hyperbel krümmt sich zu einer sonnenzentrischen Ellipse.

Es ist eine nützliche Annäherung.

Hyperbeln und Ellipsen sind sehr nützlich für Annäherungen, weil sie eine Möglichkeit sind, ziemlich nah dran zu sein, und weil die Mathematik viel einfacher ist, besonders in der Zeit, in der es keine billigen, leistungsstarken Computer auf jedem Schreibtisch gab. Aus diesem Grund verwendet das Kerbal Space Program sie in seiner „Patched Conics“-Vereinfachung der Orbitaldynamik.

Zunächst einmal ist es wichtig zu beachten, dass es hier einen sehr wichtigen Punkt zum Referenzrahmen gibt . Gerade jetzt, wenn Sie auf der Erdoberfläche stehen, bewegen Sie sich auf einer Bahn, die in erster Linie eine (leicht) elliptische Umlaufbahn um die Sonne ist , denn die Erde trägt Sie auf ihrer Umlaufbahn mit.

Wenn Sie dann auf eine entsprechend gute Rakete steigen und sich auf eine Fluchtbahn von der Erde starten, bewegen Sie sich jetzt auf einer geringfügigen Störung dieser Umlaufbahn, deren genaue Form von der Startrichtung und jeder übermäßigen Geschwindigkeit abhängt der Fall, in dem mehr Kraftstoff als das erforderliche Minimum vorhanden war und der Motor über diesen Punkt hinaus brennen durfte.

Ausgehend vom Bezugssystem auf der Erde sind Sie dann natürlich in Ruhe (vermutlich, es sei denn, Sie bewegen sich während des Lesens auf andere Weise). Wenn Sie zu Ihrem Fluchtkurs starten, ist dies der Referenzrahmen, in dem eine hyperbolische Flugbahn zu sehen ist - bis zu einem Punkt.

Ich erwähne diesen Punkt bezüglich des Referenzrahmens, weil er für den nächsten Teil notwendig ist, der darin besteht, festzustellen, wo sich dieser "Punkt" tatsächlich befindet (es ist nicht wirklich ein exakter Ort, sondern eher eine Übergangszone), da er mit dem Gleichgewicht zu tun hat von Kräften, die Ihre Bewegung beeinflussen.

Da der Erdkern (nicht die Erdoberfläche; wir wollen die Rotation um die Achse für diesen Zweck nicht berücksichtigen!) kein Trägheitsbezugssystem ist, muss die Kraftbeschreibung einen "fiktiven" (dh nicht durch eine Wechselwirkung erzeugten) Zentrifugalterm enthalten , zusammen mit den Gravitationskräften sowohl der Erde als auch der Sonne (ignorieren wir vorerst den Mond, das wird die Flugbahn nur noch komplizierter machen [wenn nicht "mit extremen Vorurteilen enden": D], wenn Sie eine Begegnung haben - sehen Sie was geht hier vor? - und nehmen wir an, die Küste ist unter den Startbedingungen frei).

Die Beschreibung der Flucht als dem hyperbolischen Kurs folgend ist also gültig, solange die Annahme, unter der sie getroffen wird – die im Grunde darin besteht, dass die Erde die einzige Quelle der Schwerkraft ist und dass es sich um einen perfekt symmetrischen Gravitationskörper handelt – gültig ist. In diesem Fall ist letzterer Teil nicht so wichtig wie ersterer: Das Modell versagt, sobald die Gravitationskraft von der Erde im Vergleich zur Summe dieser beiden anderen Kräfte nicht mehr groß ist.