Anzahl der benötigten Satelliten für globale 4-fache Abdeckung in Abhängigkeit von der Höhe?

Vielleicht suchen Sie eine Beziehung in Form von (oder fragen sich, ob eine solche Beziehung besteht):

Nmin(A_Kappe,n) = μ(n) * (A_Erde/A_Kappe)

A_cap: Fläche einer zeitlich konstanten momentanen Bedeckung durch einen einzelnen Satelliten (Kreisbahnen), modelliert als Kugelkappe.

Nmin: kleinste Anzahl von Satelliten in einer praktischen Konstellation, die eine nahtlose n-fache Abdeckung bieten kann.

μ(n): eine passende Konstante, unabhängig von A_cap, Funktion von n.

Glücklicherweise existieren solche ungefähren Beziehungen, und μ(4)~7.2, während μ(1)~2.

Allerdings kenne ich keine mathematische Herleitung von μ(n), auch nicht für μ(1). Meistens wird μ(n) aus dem Testen verschiedener Konstellationen abgeleitet, die unter Verwendung heuristischer Überlegungen konstruiert wurden, wie z. B. die sogenannten Walker-Konstellationen ( Wiki ).

• Fall n = 1

Beginnen wir mit n=1, um uns mit einigen veröffentlichten Ergebnissen vertraut zu machen.

Yuri Ulybyshev schrieb 2008 eine nette Rezension mit dem Titel Satellite Design for Continuous Coverage: Short Historical Survey

Abbildung 1, hier der Einfachheit halber reproduziert, zeigt ein Diagramm für n = 1 und Elevation = 10 ° (das er α nannte).

Wie Sie selbst bemerkt haben, wenn Sie Phi den erdzentrierten Halbkegelwinkel der Kugelkappe nennen, der die individuelle Bedeckung darstellt, dann ist A_cap=2 π RE2 (1-cos(Phi)) Also ist (A_Earth/A_cap) = 2 /(1-cos(Phi))

Was ich hier behaupte, ist, dass die enge untere Grenze für N, die in Abbildung 1 von Ulybyshev angezeigt wird, dem Trend der Beziehung folgt:

   Nmin= 4/(1-cos(Phi))

Mit anderen Worten, μ(1) ~ 2.

Hier ist ein Kontrollpunkt, damit wir mit der detaillierten Berechnung auf der gleichen Seite sind:

H=1000 km (und El=10°) => Phi =21,6° => 2/(1-cos(Phi))= 28,4 => Nmin=56,8

Dieses Ergebnis (μ(1) ~ 2) wurde unabhängig von Beste in Design der Satellitenkonstellation für eine optimale kontinuierliche Abdeckung erhalten . Es ist kostenpflichtig, aber Abbildung 3 ist verfügbar (hier wiedergegeben, ψ ist der Halbkegelwinkel, den wir Phi genannt haben).

• Fall n=4,

Nimm GPS. Da wir H (20200 km) kennen, können wir ihren Phi (66,3°) berechnen, vorausgesetzt, dass ihre geplante Höhe 10° beträgt (eine vernünftige Annahme für das Navi). Wir wissen auch, dass GPS 24 Satelliten benötigt. Daraus können wir die fundierte Vermutung anstellen, dass μ(4) ~ 7,2, unter der Annahme, dass die Designer von GPS ihre Konstellation für eine minimale Anzahl von Satelliten optimiert haben.

Einige Anmerkungen zu Ihrem Ansatz, der meiner Meinung nach als Annäherung erster Ordnung gut ist.

Dabei glaube ich, dass ich die Anzahl der Satelliten überschätze

Ich würde eher sagen, es muss eine Unterschätzung sein .

1. Kreise lassen sich nicht perfekt kacheln. Um beispielsweise eine 1-fache Abdeckung zu erreichen, muss eine gewisse Überlappung vorhanden sein, was erforderlich ist$\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \approx 1.21$mal mehr Kreisfläche.

Für Überdeckungen höherer Ordnung nähert sich die Überdeckungseffizienz asymptotisch an$1$, aber für eine 4-fache Bespannung ist nicht klar, dass Sie es besser machen können, als nur vier 1-fache Bespannungen zu schichten (und selbst wenn es eine cleverere Lösung gibt, wird sie nur geringfügig besser sein). 20 % mehr Satelliten allein aus der statischen Geometrie des Problems erscheinen also vernünftig.

2. Satelliten sind nicht statisch. Selbst wenn Sie eine geometrische Lösung finden, die den gesamten Planeten 4-fach abdeckt, wird sie wahrscheinlich sofort brechen, wenn die erforderliche relative Bewegung berücksichtigt wird. Das Abdeckungsmuster muss sich als Funktion der Zeit ändern, und Sie werden wahrscheinlich zusätzliche Satelliten benötigen, um sicherzustellen, dass die 4-fache Abdeckung die ganze Zeit statt nur einen bestimmten Moment hält.

Für etwas, das eindeutig überschätzt ist, aber funktionieren wird, könnten Sie Satelliten in Längenebenen platzieren, die eng genug sind, um eine vierfache Abdeckung bereitzustellen.

Etwas anfängliches Zahlenjonglieren ergibt ein Effizienzmaximum, bei dem die Flugzeuge 1,55 Einzelsatelliten-Abdeckungsradien voneinander entfernt sind, wobei die Satelliten in einer Ebene 0,36 Radien voneinander entfernt sind.

Dies sollte eine nachweisbare Obergrenze ergeben, ist jedoch ineffizient, da es unnötige Mengen an Abdeckung in der Nähe der Pole liefert.