Diese Gleichung ist eigentlich ein Ablenkungsmanöver.

Der Professor diskutiert die Gesamtmenge an Masse, die verbraucht wird, um alle Bender zu erzeugen, was der Gesamtmasse aller Bender selbst entspricht, wenn wir die Massenerhaltung annehmen (dh Masse rein = Masse raus). Dies ist eine sichere Annahme, da der Professor das Verhalten des Vervielfältigungsgeräts als "Umstrukturierung des Rohmaterials" bezeichnet .

Jetzt wurde eine abweichende Serie als Handlungsinstrument benötigt, um zu veranschaulichen, wie die Replikation der Benders schließlich alle verfügbare Materie verbrauchen würde. In dieser Hinsicht war die Gleichung insofern zufriedenstellend, als sie sicherlich divergent ist, da es sich um eine verallgemeinerte harmonische Reihe handelt (wie Zev in einem Kommentar richtig identifiziert). Dies ist leichter zu erkennen, wenn es vereinfacht wird, indem man feststellt (wie es OghmaOsiris in ihrer Antwort getan hat), dass sich die 2 ⁿ - Begriffe gegenseitig aufheben:

Dies ist jedoch nicht die richtige divergente Reihe für diese Situation.

Wie tief kann man gehen?...

Zunächst müssen wir die einschränkenden Effekte von Benders in Atomgröße ignorieren. Nach einigen Generationen würden die Benders so klein werden, dass sie, wenn sie "normale" Materie wären, aus einer begrenzten Anzahl von Molekülen bestehen würden, zu wenige, um eine vollständige Biegeeinheit zu bilden. Eine Szene zeigt jedoch voll ausgebildete, aber immer noch atomare Bender, die Moleküle manipulieren und aufnehmen, was impliziert, dass sie nicht aus "normaler" Materie, sondern aus "geschrumpfter" Materie gebildet werden. Im Futurama-Universum ist dies vernünftig, da der Professor zuvor in der Episode Parasites Lost auf die Existenz (und die extravaganten Kosten) von "winzigen Atomen" verwiesen hat, als Bender den Professor fragt, ob er sie verkleinern möchte:

Bender: Yo, alter Mann, warum müssen wir diese winzigen Mikrodroiden benutzen? Kannst du uns nicht einfach verkleinern?

Farnsworth: Oh mein Gott, nein. Dafür wären extrem kleine Atome erforderlich, und haben Sie diese in letzter Zeit bewertet? Ich bin nicht aus Geld gemacht! Lass mich alleine!

Unter der Annahme, dass "winzige Atome" beteiligt sind, können wir die Masse für eine unendliche Anzahl von Generationen sicher berechnen, ohne uns Gedanken darüber machen zu müssen, dass Benders Bruchteile der Masse eines normalen Atoms sind.

Eine bessere Wahl der Gleichung ...

In Anbetracht dessen:

1. Jede neue Generation hat 2-mal so viele Bender wie die vorherige Generation und
2. Jeder neue Bender ist ein fester Bruchteil der Masse des Benders, aus dem er hervorgegangen ist

Dann lautet die korrekte Gleichung für die Gesamtmasse aller Bender (und damit die Materie, die sie verbraucht haben), wenn sich die Anzahl der Generationen gegen unendlich bewegt:

Wobei M ₀ die Masse des ursprünglichen Benders ist und r _mass das Verhältnis zwischen der Masse einer Bender-Kopie und dem Bender ist, aus dem sie hervorgegangen ist. Dies ist eine geometrische Reihe , und ich denke, diese Gleichung sieht nicht so interessant aus wie die andere Gleichung, die sie verwendet haben. Vielleicht haben sie die Gleichung gewählt, die sie auf komplexere Weise darstellen könnten, oder vielleicht haben sie einfach einen Fehler gemacht. So ist Science-Fiction. ;)

Weicht diese Gleichung nun ab, wie es die Prämisse der Episode erfordert? Ob die Gleichung konvergent ist oder nicht, wird durch den Wert von r _mass bestimmt . In der Folge spielt Bender auf seine ersten 2 Exemplare als "60% skalierte Nachbildungen von mir" an . Ob Sie diesen Skalierungsfaktor auf die physikalischen Abmessungen oder auf die Masse anwenden, wird zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen.

Skalierung der physischen Dimensionen um 60% ...

Wenn wir die Höhen und Breiten aufeinanderfolgender Bender vergleichen, scheint es, dass sie um 60 % skaliert sind. Anhand dieses Screenshots habe ich ein paar grobe Messungen durchgeführt (rot dargestellt):

Das Verhältnis zwischen diesen Messungen ergab 0,594 für die Höhe und 0,599 für die Breite. Wie Erik in seiner Antwort feststellt , führt das Skalieren jeder Dimension um 0,6 dazu, dass das Volumen (und damit die Masse) um den Faktor 0,216 skaliert wird. Die Verwendung dieses Werts für die r _-Masse ergibt eine konvergente Reihe, die asymptotisch zu einer Gesamt-Bender-Masse von etwa 1,76*M ₀ führt . Nicht einmal zwei Bender an Masse!

Da viele/alle Bender-Klone an einem Punkt in der Episode zusammenkommen, um gegen einen Riesen zu kämpfen , ist es ziemlich klar, dass es viel mehr als nur zwei Bender-Klone gibt. Obwohl die physikalischen Dimensionen für jede neue Generation um 60 % zu skalieren scheinen , scheint die Masse (irgendwie) nicht gleichzeitig zu skalieren. Vielleicht gibt es Bender, die sich mehr als einmal replizieren, was die erste Annahme, die ich oben gemacht habe, entkräften würde.

Skalierung der Masse um 60%...

Wenn die Masse selbst zwischen den Generationen um 60 % skaliert, dann wäre r _mass 0,6 und die Gleichung wird divergierend und wächst unbegrenzt. Yah! Das wollen wir sehen! Aber angesichts der Diskrepanzen ist es so etwas wie ein leerer Sieg, und das Schreiben dieser Antwort war zwar lustig, aber größtenteils "mathsturbatory" . Letztendlich muss man sich nur darüber im Klaren sein, dass es sich um Science-Fiction handelt, nicht um Wissenschaft , und die Autoren werden es nicht immer zu 100 % richtig hinbekommen.

... Es ist jedoch immer noch eine meiner absoluten Lieblingssendungen. ;)

Es ist im Grunde eine Summierung von 0 bis unendlich von Potenzen von 2 multipliziert mit dem ursprünglichen Betrag über dieselbe Potenz von 2 mal n + 1. Effektiv einen immer kleineren Bruch addieren, bis die Addition zu 0 wird.

Es könnte umgeschrieben werden als:

M = summation(n = 0 -> unendlich): (M ₀ /n+1), weil sich die 2 ⁿ aufheben.

Vielleicht möchten Sie math.stackexchange.com fragen, ob ich falsch liege.

Hier ist meine Analyse – kann jemand einen Fehler erkennen? Ich werde dies zum Thema meines nächsten Math Mutation-Podcasts machen. :-)

Anstelle von Kilogramm vereinfachen wir unsere Berechnungen und messen die Masse in Bender-Massen oder Bs, wobei die Masse des ursprünglichen Benders 1B beträgt. Welche Masse haben die beiden Halbbieger, die er erschafft?

Zuerst müssen wir definieren, was „60 % der Größe“ bedeutet: Ich denke, es wäre logisch anzunehmen, dass wir das Maß auf das 0,6-fache des Originals in jeder der 3 Dimensionen reduzieren: Länge, Breite, Höhe. Unter der Annahme, dass die Masse proportional zum Volumen ist, bedeutet dies, dass die Masse jedes Mini-Benders 0,6 * 0,6 * 0,6 Bs oder das 0,216-fache der Masse des ursprünglichen Benders beträgt. Die Gesamtmasse der beiden Halbbieger beträgt also 2 * 0,216 = 0,432 Bs. In ähnlicher Weise sollte die N-te Generation von Benders eine Masse von (0,432) ^ N Bs haben, da ihre Masse das 0,432-fache der vorherigen Generation beträgt. Und die Summe, mit der wir es zu tun haben, ist (1 + 0,432 + 0,432^2 + ...).

Gute Nachrichten – diese Serie konvergiert! Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, festzustellen, dass 0,432 kleiner als 1/2 ist, sodass der N-te Term immer kleiner als (1/2^N) ist, eine bekannte konvergente Reihe, die sich zu 2 addiert. (Eine schnelle Ein Weg, dies zu beweisen, besteht darin, sich die Basis-2-Zahl 0,1111 anzusehen ...) Also, egal wie viele Repliken es gibt, die Gesamtmasse wird weniger als 2 Bender betragen, und unser Planet ist sicher.

Und die Autoren haben uns nur verarscht, indem sie diese irrelevante Gleichung auf dem Bildschirm gezeigt haben.

Ich bin ein relativer Mathe-Noob, also bitte entschuldigen Sie, wenn dies offensichtlich falsch ist. Aber mir fällt ein, dass das M in dieser Gleichung vielleicht nicht die Masse der resultierenden Bender sein soll, sondern eher die Masse des Rohmaterials, das jede Generation verbraucht. Das würde erklären, warum es mit jeder Generation kleiner wird. Wenn es sich um eine unendliche Serie handelt, ist die Gefahr der globalen Zerstörung natürlich immer noch da.

Macht das Sinn?