Welche Ableitung der Driftgeschwindigkeit ist richtig?

Die Werte, die Sie für die Driftgeschwindigkeit angeben, stammen aus einer primitiven Näherung, die die statistische Natur der Bewegung nicht korrekt berücksichtigt. Die Kollision randomisiert die Geschwindigkeit nicht sofort, noch gibt es diskrete Kollisionen, die Kollisionen eines klassischen Teilchens in einem dichten Medium erfolgen mehr oder weniger kontinuierlich, wenn das Teilchen andere schiebt, und dieses Gedrängel ist nicht leicht zu beschreiben.

Die Geschwindigkeit, die Sie aus diesen Gleichungen erhalten, sind also nur Größenordnungsschätzungen, sie sollten nicht zu ernst genommen werden, sie geben Ihnen nur eine grobe Vorstellung davon, wie sich die geladenen Teilchen bewegen. In diesem Sinne sind die beiden Antworten gleich, weil sie sich nur um den Faktor 2 unterscheiden. Keine ist richtig.

Es ist wichtig, gleich zu sagen, dass diese klassische Sitz-der-Hose-Idee für Elektronen in Metallen völlig falsch ist, sie gilt nur ungefähr für so etwas wie Ionenleitung, z. B. das Leiten von Strom in Salzwasser durch Driften von Na + und Cl- Ionen in Lösung, die sich auf den beiden Elektroden ablagern. Es ist auch gültiger, wenn die Partikel größer sind, wie geladene Molekülionen in Lösung, viel größer als Wassermoleküle. Die Bewegung von Elektronen in Metallen ist hochgradig quantenhaft, die Elektronen bilden ein kaltes Fermi-Gas, und dieses Gas kann in keiner Weise durch klassische voreingenommene thermische Drift beschrieben werden, nicht einmal als grobe Annäherung.

Aber für die Ionenleitung großer Moleküle ist das klassische Zufallsdriftmodell korrekt, da die Bewegung von Ionen in Lösung bei Raumtemperatur klassisch ist. Innerhalb dieses Modells ist es angebracht zu fragen, ob die Driftgeschwindigkeit von Ionen gleich ist${e\over m} \tau E$oder die Hälfte dieses Wertes oder das Doppelte dieses Wertes.

Um eine Antwort zu geben, benötigen Sie jedoch eine bessere Definition des Parameters$\tau$als "die mittlere Zeit zwischen Kollisionen". Diese Definition ist nur für die Intuition und für Schätzungen der Größenordnung ok. Die richtige Definition von$\tau$ist wie die Relaxationsrate der Geschwindigkeit die exponentielle Zerfallsrate der Information über die Geschwindigkeit des Ions in der Zeit. Wenn Sie eine Geschwindigkeit haben$v$Auf den Ionen sagt es Ihnen, wie die Ionengeschwindigkeit randomisiert wird.

Der einzige Grund, warum ein solcher Parameter existiert, liegt darin, dass der zufällige Kollisionsprozess eines klassischen Ions (oder eines beliebigen klassischen Teilchens in einem thermischen Hintergrund) gut durch eine stochastische Gleichung beschrieben werden kann. Dies wurde 1905 von Einstein und Smoluchowski entdeckt. Stochastische Gleichungen gelten normalerweise als etwas fortgeschrittener als die elementare Beschreibung in Bezug auf die mittlere freie Weglänge, aber sie sind die einzige Möglichkeit, eine Frage zu Faktoren zu beantworten, wie Ihre Frage, bei der eine mittlere Beschreibung des freien Weges ist unzureichend.

In einer stochastischen Beschreibung nehmen Sie an, dass Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit des Ions zum Anfangszeitpunkt haben, und Sie fragen, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Zeit ändert, über eine Zeitskala, die im Vergleich zur Kollisionszeit lang ist. Die Gleichung, die Ihnen dies sagt, ist eine partielle Differentialgleichung, die als Fokker-Planck-Gleichung bekannt ist:

$${\partial_t \rho(v)} = -\partial_x ( D\partial_x\rho - {1\over\tau} v \rho)$$

Die Bedeutung dieser Gleichung kann verdeutlicht werden, indem man sie sich als aktuelle Gleichung vorstellt: Sie besagt, dass man eine Wahrscheinlichkeitsdichte hat$\rho(v)$mit einer gewissen Geschwindigkeit$v$, tendiert diese Wahrscheinlichkeitsdichte dazu, sich zu kleiner zu bewegen$v$(der zweite Term in den Klammern rechts), mit einer Zeitkonstante$\tau$, und wenn es einen Wahrscheinlichkeitsgradienten gibt, wird er durch Diffusion tendenziell geglättet (der erste Term rechts).

Um die stationäre Verteilung zu lösen, setzen Sie die Wahrscheinlichkeit auf Null,

$$D\partial_v \rho - {1\over \tau} v \rho = 0$$

$$\rho \propto e^{- v^2\over 2\tau D}$$

Aber wir wissen aus allgemeinen Prinzipien der statistischen Mechanik, dass die stationäre Verteilung für Teilchengeschwindigkeiten die Maxwell-Verteilung sein sollte, die auch eine Gauß-Verteilung ist:

$$\rho \propto e^{-mv^2\over 2kT}$$

Und dies führt zu einer Einstein-Beziehung:

$${1\over \tau D} = {m\over 2kT}$$

also das wissen$\tau$bestimmt die Geschwindigkeitsdiffusionskonstante$D$:

$$D = {2kT \tau \over m}$$

Dies zeigt Ihnen die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit, mit der die Velocity abfällt (ihren Anfangswert vergisst) und dem Parameter$D$, die Ihnen sagt, wie die Velocity randomisiert wird.

Wenn Sie eine Kraft auf die Ionen anwenden, erhalten Sie eine zusätzliche Drift im Wahrscheinlichkeitsstrom:

$$\partial_t \rho = \partial_x( {2kT\tau\over m}\partial_x - {1\over\tau} v \rho + {F\over m}\rho)$$

Sie können die neue stationäre Verteilung finden und sehen, dass es sich um eine Gaußsche Verteilung handelt, die auf eine neue Geschwindigkeit zentriert ist:

$$\rho(v) \propto e^{ - {m(v-v_d)\over 2kT}}$$

Daraus und der Tatsache, dass die Kraft auf ein Ion wirkt$qE$, finden Sie die Driftgeschwindigkeit:

$$v_d = {qE\tau \over m}$$

Der Parameter$\tau$ist daher nichts weiter als das genaue Analogon des ungenauen Parameters "Zeit bis Kollisionen", den Sie angeben, und wenn ein klassisches System einer Fokker-Planck-Gleichung gehorcht (was normalerweise der Fall ist), finden Sie diese Beziehung.

In dieser Gleichung gibt es keine Faktoren von 1/2, weshalb die Referenz, die Sie finden, dies nicht angibt. Aber der Parameter$\tau$wird jetzt anders definiert --- es ist nicht genau die Zeit bis zu Kollisionen, es ist die Relaxationsrate der Geschwindigkeit.

Um dies besser zu verstehen, können Sie die Gleichung dimensionieren: Setzen Sie die neue Zeiteinheit in der Fokker-Planck-Gleichung auf sein$\tau$, und die Einheit der Geschwindigkeit ist (Quadrat des 2-fachen) der thermischen Geschwindigkeit$2\sqrt{kT\over m}$. Dann nimmt die Gleichung die Form an:

$$\partial_t \rho = \partial_v ({1\over 2} \partial_v\rho) - v\rho)$$

Diese Gleichung kann mathematisch in die imaginäre Zeit-Schrödinger-Gleichung umgewandelt werden, indem man schreibt:

$$\rho(x) = e^{-v^2\over 2} \psi(x)$$

Das gibt:

$$\partial_t \psi = - {1\over 2} \partial_v^2 \psi - (v^2 - {1\over 2}) \psi(v)$$

Welches ist die imaginäre Zeit der Schrödinger-Gleichung für eine "Wellenfunktion" in$v$(Dies ist nur eine mathematische Analogie, die es mir erlaubt, die bekannten Eigenwerte des SE zu verwenden, es ist keine Physik. Es wird dadurch gerechtfertigt, dass beide Gleichungen durch ein Pfadintegral beschrieben werden), mit einem harmonischen Oszillatorpotential.

Die Energieniveaus dieses Hamiltonoperators sind die Eigenwerte des Differentialoperators, und sie würden die Energien in Echtzeit liefern, aber sie geben die Zerfallsraten in imaginärer Zeit an. Die Änderung von Variablen aus$\rho$zu$\psi$beeinflusst die Eigenwerte nicht, so dass die zeitliche Fokker-Planck-Gleichung ganzzahlige Zerfallsraten hat. Sie lernen also, dass die Zerfallsrate ein ganzzahliges Vielfaches der Zeiteinheit ist$\tau$.

Also der Parameter$\tau$hat eine Interpretation als die natürliche Zerfallsrate kleiner Störungen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Auf diese Weise ist es eine natürliche Verallgemeinerung der "Zeit bis zur ersten Kollision", es ist der Hauptparameter, der Ihnen sagt, wie lange es dauert, bis die Geschwindigkeit im thermischen Gleichgewicht zufällig ist.

Stochastische Gleichungsformulierung

Das Obige kann transparenter gemacht werden, wenn Sie sich ein etwas fortgeschritteneres Konzept erlauben, das Konzept einer White-Noise-Funktion. Ein weißes Rauschen$\eta(t)$ist die Ableitung einer Brownschen Bewegung. Es ist eine Funktion der Zeit, die zu jedem Zeitpunkt völlig zufällig ist, so dass ihr Integral über jedes Intervall eine gaußsche verteilte Zufallsvariable ist, deren Varianz gleich der Breite des Intervalls ist.

Der beste Weg, dies frei von mathematischen Ärgernissen zu definieren, besteht darin, die Zeit zu einem feinen Abstandsgitter zu machen$\epsilon$, und dann$\eta$an jedem Gitterpunkt unabhängig zufällig ist, mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Gaußsche Verteilung ist, die bei der Breite Null zentriert ist$1\over\sqrt{\epsilon}$.

$$\rho(\eta(x)) = e^{-{\eta(x)^2\over 2}\epsilon}$$

Wenn Sie die unabhängige Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt multiplizieren, erhalten Sie eine Summe im Exponenten und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für jede Sammlung möglicher Werte der Funktion$\eta$. Ich werde die Summe durch ein Integral ersetzen, da die$\epsilon$ist dafür an der richtigen Stelle.

$$e^{-\int {\eta^2\over 2} dt }$$

In Bezug auf dieses zufällige Rauschen ist die Bewegungsgleichung für ein Brownsches Teilchen sehr einfach:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + \sqrt{2D}\eta$$

Das ist es! Es besagt, dass die Geschwindigkeit nach einem linearen Reibungsgesetz mit Zeitkonstante auf Null geht$1\over \tau$, und bekommt auch zufällige Tritte zu jedem Zeitpunkt der Größe$\epsilon$, dessen Größe ist$\sqrt{2D\over\epsilon}$. Das Ausmaß der Tritte divergiert bei winzig$\epsilon$, aber sie ist in alle Richtungen zufällig, so dass sie sich meistens aufhebt, und die durchschnittliche Energie, die auf das Teilchen im thermischen Gleichgewicht über eine Zeit übertragen wird$\tau$handelt von$kT$(auf zufällige Weise). Das statistische Pfadintegral über$\eta$reproduziert die Fokker-Planck-Gleichung auf die gleiche Weise, wie das Pfadintegral der Lagrange-Funktion in der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung reproduziert.

Wenn Sie eine externe Kraft haben, fügen Sie sie einfach auf der rechten Seite hinzu:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + qE + \sqrt{2D}\eta$$

Der Durchschnittswert von v ist die Driftgeschwindigkeit und wird durch einen Langzeitdurchschnitt dieser Gleichung ermittelt, wobei alle Terme außer denen verschwinden, die proportional zu sind$v$, die werden$v_d$, die gemittelte Driftgeschwindigkeit:

$$-{m\over\tau} v_d + qE = 0$$

Daraus können Sie Ihre Relation ablesen. Das sieht man am Koeffizienten$\tau$ist die Zeitkonstante für den Zerfall einer klassischen Geschwindigkeit. Sie können auch sehen, dass die statistischen Details nicht wichtig sind – wichtig ist, dass es eine Langzeitgrenze gibt, bei der der Durchschnitt der zufälligen Kraft Null ist und der Durchschnitt der zeitlichen Ableitung von$v$ist auch null.

Ich werde aufhören und die Aussage begründen, dass der Durchschnitt von$\eta$und${dv\over dt}$beide über lange Zeit Null sind. Der Durchschnitt von$\eta$ist per Definition Null --- es ist eine Größe, deren Mittelwert über ein Fenster der Größe T proportional zu ist$\sqrt{T}$. Der Durchschnitt von$dv\over dt$ist das Integral:

$${1\over T} \int_0^T dv = {v_f - v_i\over T}$$

und sowohl die Anfangs- als auch die Endgeschwindigkeit liegen in der Größenordnung der thermischen Geschwindigkeit und sind währenddessen konstant$T$wird lang.

Die stochastische Gleichungsformulierung ist für diese Art von Problemen am natürlichsten.

Kaltes Fermigas

Sie haben nach Elektronen gefragt, leider nicht nach geladenen Pollenteilchen oder geladenen Ionen in Lösung. Für Elektronen ist dieses klassische Bild völlig unzutreffend.

In diesem Fall bewegen sich die Elektronen auf Quantenweg, so dass sie Gitterwellenzahlen haben$k$und mache eine Fermi-Dirac-Verteilung bei der Temperatur$T$die nur eine dünne Haut von Wellenzahlen in der Nähe der Fermi hat$k$aufgeregt. Nur diese Elektronen nehmen an der Leitung teil.

Wenn man eine Spannung anlegt, nähern sich die Elektronen Wellenzahlen an$k_f$gewinnen Energie aus dem Feld und verlieren Energie durch Streuung, aber der Prozess ist überhaupt nicht klassisch, weil die Elektronen nicht in einen wesentlich kleineren Zustand übergehen können als$k_f$, weil diese Zustände besetzt sind, und sie können auch nicht in einen wesentlich höheren Zustand gehen als$k_f$, da$kT$ist viel kleiner als die Fermi-Energie im System.

Diese Elektronen laufen also in Quantenwellen umher, denen eine bestimmte Geschwindigkeit aufgezwungen wird und die nur durch Verunreinigungen und Phononen ihre Richtung ändern können. Dieser Streuprozess führt zu einem klassischen Widerstand, dessen Berechnung jedoch eine quantenmechanische Behandlung erfordert und eine von jeder klassischen Geschwindigkeitsrelaxation getrennte Frage ist.