Geschwindigkeit von Elektronen in einem stromdurchflossenen Metalldraht: Macht das überhaupt Sinn?

Wie bei allem anderen in der Physik ist es sinnvoll, im Zusammenhang mit einem Modell über eine solche Größe zu sprechen. Und wir stören, weil das Modell (zumindest gelegentlich) nützlich ist. Betrachten Sie die Frage

"Warum strahlt der Strom in einem Haushaltsstromkreis mit einer Biegung im Kabel nicht mit hoher Leistung?"

Offensichtlich wird die Ladung beschleunigt, wenn man um die Kurve geht, und Beschleunigung impliziert Strahlung. Aber wie viel Ladung und abhängig davon, wie viel Beschleunigung einen Unterschied macht.

Eine praktikable Vorstellung von der Geschwindigkeit von Elektronen ist eine Möglichkeit, das Problem anzugehen (und eine, die den Schülern der Einführungsklasse zugänglich ist).

Ich werde dmckees Ansicht bestätigen, dass Konzepte wie Velocity einen Kontext benötigen. Jede Variable in jeder Theorie muss interpretiert werden, um sie mit unserer alltäglichen Intuition zu verbinden. Hier ist zum Beispiel eine Theorie:$F=ma$. Diese Theorie hat keine Bedeutung über die Mathematik einer Differentialgleichung hinaus, wenn wir sie nicht interpretieren$F$etwas zu sein, das angesichts unserer Intuition, was eine „Kraft“ ist, Sinn macht.

Was meinen wir also mit der Geschwindigkeit eines Elektrons? Es kommt auf den theoretischen Kontext an. Wenn Sie einen klassischen Kontext haben, zB Drude, dann ja, Elektronen sind nur Ladungskugeln, die wie Billardkugeln herumspringen. Und die Geschwindigkeit, die Sie in diesem Zusammenhang berechnen würden, ist genauso die tatsächliche Geschwindigkeit wie eine klassische Geschwindigkeit, über die Sie berechnen würden$F=ma$. Nur weil Ihre Theorie nicht die „tiefste“ ist, heißt das nicht, dass sie nicht real ist (solange sie mit dem Experiment übereinstimmt). Wenn das der Fall wäre, dann wäre nichts von der Physik „real“, weil niemand die ultimative Theorie von allem entdeckt hat.

Als Randbemerkung, warum hassen alle Drude-Modelle? Wenn man bedenkt, wie einfach es ist, ist es bemerkenswert genau, insbesondere für die einfache Metallleitung, die Sie beschreiben. Schauen Sie sich zum Beispiel dieses Papier an . Die Goldleitfähigkeit wird durch das Drude-Modell von DC bis hin zu optischen Frequenzen außerordentlich gut beschrieben. Das Drude-Modell ist nicht veralteter und falscher als$F=ma$. Wenn es relevant ist, funktioniert es (und dasselbe gilt für jede etablierte Theorie). Es ist eigentlich ein bemerkenswertes Merkmal der Festkörperphysik, dass Medien, die so komplex sind wie Kristalle aus Atomen mit Millionen von wechselwirkenden geladenen Teilchen, normalerweise nur nach Drude funktionieren.

Um auf Ihre Frage zurückzukommen, würde ich daraus schließen, dass Sie nach einer Antwort auf der Abstraktionsebene der Bloch-Elektronen und der Bandtheorie suchen. Angenommen, Elektronen bewegen sich mit der Fermi-Geschwindigkeit, bis sie auf etwas stoßen, was im Durchschnitt so oft passiert, wie es mit der phänomenologischen Drude-Streuzeit übereinstimmt (10 Femtosekunden für Metalle). Aber denken Sie daran, dass wir, wenn wir über Bloch-Elektronen sprechen, nicht mehr wirklich über kleine herumfliegende Bällchen sprechen; Elektronen sind jetzt Wellen, mit Phase und GruppeGeschwindigkeiten. Die Besonderheiten der Wellenphysik liegen nun alle auf dem Tisch. An der Spitze des Valenzbandes eines Halbleiters ist die effektive Elektronenmasse beispielsweise negativ. Was bedeutet das also für unsere klassische Intuition von Observablen wie Geschwindigkeit?

Das bedeutet, dass jede gemessene und berechnete Größe im Kontext des jeweiligen Modells interpretiert werden muss.

Der Hall-Effekt misst die Driftgeschwindigkeit im Wesentlichen durch Ausgleichen der Lorentz-Kraft$q\ \vec{v}_{drift} \times \vec{B}$. Diese Geschwindigkeit ist oft so groß, wie man es von der Messung des Stroms und der Kenntnis der Dichte und des Vorzeichens von Ladungsträgern erwarten würde, beispielsweise in dotierten Halbleitern.

Bei einfachen Metallen stimmt es mit der Anzahl der Valenzelektronen pro Atom überein. Es stimmt mit der Interpretation überein, dass alle Valenzelektronen an der Leitung teilnehmen.

In einem Festkörper wird die elektronische Struktur durch Energiebänder beschrieben$E_{n\mathbf{k}}$, wobei n eine Quantenzahl ist, die das Band bezeichnet, und$\mathbf{k}$ist der Eigenwert des Impulses. Für ein Elektron, das sich auf diesem Energieband befindet, wäre die Geschwindigkeit$v_\mathbf{k}=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E_{n\mathbf{k}}}{\partial\mathbf{k}}$. Abhängig von der Art der Bandstruktur kann uns die funktionale Form dieser Geschwindigkeit sagen, wie sich der Festkörper verhalten würde. Zum Beispiel ein Leiter mit einer quadratischen Banddispersion$E_\mathbf{k}\sim k^2$würde durch das Drude-Modell recht gut beschrieben werden. Wenn der Leiter andererseits wie Graphen ist und eine Dirac-Dispersion hat,$E_\mathbf{k}\sim k$, dann muss ein anderes Modell angewendet werden, um sein Verhalten unter angelegtem Potential zu verstehen.

Als statistische Größe ist die Driftgeschwindigkeit sinnvoll. Um es zu berechnen, muss man die Geschwindigkeiten summieren$v_\mathbf{k}$für alle bis zum Fermi-Niveau besetzten Impulszustände. Wie sich herausstellt, nur die Zustände dazwischen$E_F$und$E_F+V$wo$V$das angelegte Potential ist, Strom tragen. Die Beiträge der anderen Staaten im Fermimeer heben sich auf.

Die Fermi-Geschwindigkeit ist für verschiedene Bänder unterschiedlich, die das Fermi-Niveau schneiden. Im Drude-Modell, wo impliziert wird, dass Sie ein einzelnes Band mit einer Streuung haben$E_\mathbf{k}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$, wo$m^*$die effektive Masse ist, ist die Fermigeschwindigkeit gerade$v_F=\sqrt{2m^*E_F}$, wo$E_F$ist die Fermi-Energie. Die Fermi-Energie wird normalerweise erhalten, wenn man die Elektronendichte kennt, wie im Buch von Mermin und Ashcroft erklärt. Aber in Festkörpern kann es mehr besetzte Bänder geben.

Das einfachste Beispiel ist, wenn ein Magnetfeld vorhanden ist und eine Spinaufspaltung induziert. Angenommen, diese Zeeman-Aufspaltung ist$-B\sigma_z$, wobei B proportional zum Magnetfeld ist, und$\sigma_z$ist die Pauli-Matrix. In diesem Fall,$E_\mathbf{k}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}\pm B$. Die Fermigeschwindigkeit ist$v_F=\sqrt{2m^*(E_F\pm B)}$, wobei das "+"-Zeichen für das Spin-"Up"- und das "-"-Zeichen für das Spin-"Down"-Band steht.

Bearbeiten Sie als Antwort auf den Kommentar. Um die Geschwindigkeit eines beliebigen Teilchens in der Quantenmechanik zu berechnen, geht man von aus$\mathbf{v}=\frac{1}{i\hbar}\left[\mathbf{x},H\right]$, wo$H$ist der Hamilton-Operator, und die eckigen Klammern bezeichnen einen Kommutator. Wenn sich das Teilchen in einem bestimmten Zustand befindet, vielleicht$\left| \Psi \right>=\left| n\mathbf{k} \right>$, müssen Sie den Erwartungswert dieses Operators nehmen und dann sind Sie fertig.

Die Wahrheit ist, dass sich eure Elektronen in einem Vielkörperzustand befinden$\left| \mathbf{k}_1 \right> \left|\mathbf{k}_2 \right> \dots \left| \mathbf{k}_N \right>$, wo$\mathbf{k}_i$sind alle möglichen Impulse bis zum Fermi-Niveau, und$N$ist die Anzahl der Elektronen im Festkörper. Der Geschwindigkeitsoperator ist ein Vielkörperoperator. Wenn Ihr Festkörper als Elektronengas aus nicht wechselwirkenden Quasiteilchen modelliert wird, ist dieser Operator diagonal im Teilchenraum, sodass jedes Teilchen in einem Zustand sitzt$\left| \mathbf{k}_i \right>$wird eine entsprechende Geschwindigkeit haben$\mathbf{v}_i=\frac{\hbar\mathbf{k}_i}{2m}$.

Zu sagen, dass Elektronen im Festkörper diese Geschwindigkeiten haben sollten, ist nicht ganz richtig. Wenn man in den Festkörper ein Elektron injiziert, wird dieses Elektron nicht zum Fermi-Meer gehören. Man kann ein Teilchen injizieren, das wie ein Gaußsches Wellenpaket aussieht$\left| \Psi \right>$und seine Energie wird sein$E=\left<\Psi |H|\Psi\right>$und Geschwindigkeit werden wie oben berechnet$\mathbf{v}=\frac{1}{ih}\left< \Psi|\left[\mathbf{x},H\right]|\Psi\right>$. Wenn wir uns in der linearen Reaktion befinden, dh wir legen ein kleines elektrisches Feld an unseren Kristall an, das einen Strom induziert, wird dieses Elektron in einen der Zustände über dem Fermi-Niveau injiziert, sodass seine Geschwindigkeit nahe bei liegt$v_F$.

Ich sehe die Erwähnung der Driftgeschwindigkeit meistens nicht in der Physik, sondern in einem technischen Kontext, in dem Anfänger oft an Elektronen denken, die mit Lichtgeschwindigkeit wie magische elektrische Energiegeschosse um Drähte schießen. Dies führt zu einer Menge falscher Intuition darüber, wie elektrische Geräte funktionieren, wiederum aus praktischer technischer Sicht.

Beispielsweise sind Anfänger oft verwirrt über die negative Ladung von Elektronen und fragen sich, warum Schemata und Gleichungen alle "rückwärts" sind, als ob die Richtung, in die sich die Elektronen bewegen, wichtig wäre. In der Realität wird ein Ingenieur in den meisten Fällen feststellen, dass dies überhaupt nicht relevant ist.

In diesem Zusammenhang macht die Driftgeschwindigkeit sehr viel Sinn. Wie viele Phänomene kann man sich auf fortgeschrittene Physik berufen, um zu sagen: " So funktioniert es nicht wirklich ". Um ein Beispiel zu geben, siehe diese Frage zu Beugungsarbeiten . Die QED-Erklärung ist nicht falsch, aber sie ist auch zu kompliziert und für einen Optikingenieur nicht von großem Nutzen. Aber die klassische Erklärung ist immer noch eine gültige Theorie, die die Funktionsweise der Optik in vielen Fällen richtig vorhersagt .

Ebenso bringt die Driftgeschwindigkeit Anfänger dazu, in die richtige Richtung zu denken, dass elektrische Schaltkreise nicht von Energiegeschossen angetrieben werden, sondern Kräfte, die durch Drähte von einer sich verlangsamenden "Flüssigkeit" aus Elektronen übertragen werden.

Es hat vielleicht keine elegante Beziehung zur fortgeschrittenen Physik, wie wir sie verstehen, aber es ist ein Modell, das zu Beobachtungen passt und einen Nutzen hat. Das Ohmsche Gesetz ist in einem ähnlichen Boot. Würden Sie sagen, dass das Ohmsche Gesetz "keinen Sinn ergibt", nur weil seine Definition keine direkte Beziehung zur zugrunde liegenden Physik hat?

Ist die Driftgeschwindigkeit also die fortschrittlichste physikalische Theorie, die alle beobachteten Phänomene erklärt? Nein. Aber macht es Sinn , bei manchen Anwendungen darüber zu sprechen? Ich glaube schon.

Als Nicht-Quantenexperte kann ich völlig falsch liegen (es passiert), aber ich sehe keinen Grund zu der Annahme, dass das Konzept der Elektronengeschwindigkeit keinen Sinn ergibt. Impuls ist eine Quantenvektorgröße, und sicher, die Elektronen in einem Metall sind delokalisiert, aber es bleibt dennoch wahr, dass der durchschnittliche Impuls der Elektronen einer Beschleunigung durch ein elektrisches Feld unterliegen sollte. Und wenn es einen durchschnittlichen Impulsvektor gibt, dann gibt es einen durchschnittlichen Geschwindigkeitsvektor.

Betrachten Sie außerdem etwas wie die Kathodenemission in einer Vakuumröhre. Sobald sie emittiert sind, haben wir Ihre unabhängigen Elektronen so ziemlich in einem Vakuum. Aber wir müssen am Punkt der Emission die Erhaltung (des Impulses, der Masse, der Ladung) befolgen, nicht wahr? Wenn also auf der einen Seite der Gleichung durchschnittlicher Impuls, Geschwindigkeit und Massendurchfluss vorhanden sind, müssen sie auf der anderen Seite etwas entsprechen.