Welche Entfernung wird für den neuntnächsten Nachbarn einer Galaxie als „nah“ angesehen?

Wenn Galaxien zufällig verteilt waren (ein räumlicher Poisson-Prozess), dann die Wahrscheinlichkeit dafür$N$Galaxien innerhalb eines Radius$r$Kugel ist$\Pr[N]=\lambda^N e^{-\lambda} / N!$wo$\lambda = (4\pi /3)\rho r^3$. Also die kumulative Verteilungsfunktion des Abstands zum$N$Nachbar ist

$$\Pr[R_N<r]=1-e^{-\alpha r^3}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\alpha^n r^{3n}}{n!}$$ ( $\alpha=4\pi\rho/3$der Kürze halber). Nehmen Sie die Ableitung, um das PDF zu erhalten $$f(r) = e^{-\alpha r^3}\left [(3\alpha r^2) + 3\sum_{n=1}^{N-2} \frac{\alpha^n r^{3n-1}}{(n-1)!}\right ].$$ Während man versuchen kann, die Ableitung davon zu nehmen, um den Modus zu erhalten (oder die CDF auf 1/2 zu setzen, um den Median zu finden), wird dies algebraisch chaotisch, sodass eine numerische Lösung wahrscheinlich am besten ist. Ich bekomme, dass der Modus für den 9. Nachbarn das 2,44-fache des Modus des ersten Nachbarn ist.

Das Problem dabei ist natürlich, dass tatsächliche Galaxien stark verklumpt sind. Dies führt zu einer (möglicherweise großen) Verringerung des mittleren Abstands.

Tatsächlich haben die meisten Galaxien Satellitengalaxien, so dass, wenn man keine Definition in der Vermessung hat, die sie ausschließt, die Antwort lautet, dass der neuntnächste Nachbar sehr nahe ist (im Fall der Milchstraße wäre die Entfernung etwa 30 kpc). Jede Antwort hängt also von den Kriterien für die Aufnahme in diesen speziellen Katalog ab.