Wenn die Sichtbarkeitsfunktion die Fourier-Transformation der Himmelshelligkeitsverteilung ist, warum brauchen Sie dann den schmutzigen Strahl und das schmutzige Bild, um sie zu finden?

Sie hätten völlig Recht, dass eine einzige Fourier-Transformation erforderlich wäre, wenn das Interferometer das gesamte abtasten könnte$(u,v)$Ebene. Leider ist das nicht der Fall; Wir haben nur eine relativ kleine, endliche Anzahl von Gerichten und eine endliche Zeit. Die Abdeckung des Flugzeugs wird mit der Zeit und der Rotation der Erde zunehmen, aber sie wird unvollkommen sein. Daher beobachten wir nicht die wahre Sichtbarkeitsfunktion,$V(u,v)$, sondern die Sichtbarkeitsfunktion multipliziert mit der Abtastfunktion$S(u,v)$:

$$V_{\text{measured}}(u,v)=S(u,v)V(u,v)$$ Wo$S(u,v)$ist 1, wenn der Punkt$(u,v)$abgetastet wird und ansonsten 0. Wenn wir also diese Größe in den Bildraum Fourier-transformieren, erhalten wir nicht das wahre Bild$I(x,y)$sondern eine andere Menge$I^{D}(x,y)$, was wir das schmutzige Bild nennen. Wir können dies auch als Faltung schreiben: $$I^D(x,y)=B(x,y)*I(x,y)$$ Wo$B(x,y)$ist der schmutzige Strahl, die inverse Fourier-Transformation von$S(u,v)$, Und$I(x,y)$ist die wahre Himmelshelligkeit.$^{\dagger}$

Kurz gesagt: Wenn wir das probieren könnten$(u,v)$ebene perfekt - das heißt$S(u,v)=1$überall im$(u,v)$Flugzeug - dann wäre das kein Problem. Aber unsere Abdeckung wird immer unvollständig sein, also müssen wir die Sampling-Funktion und den Dirty Beam berücksichtigen und dann einen Algorithmus wie CLEAN verwenden , um eine Entfaltung durchzuführen$I^D(x,y)$und versuche dich zu erholen$I(x,y)$so gut wir können.

Dieser ALMA-Vortrag diskutiert alles, was ich oben gesagt habe, und geht auf einige Beispiele ein, sowie auf Bildgewichtungsmethoden und CLEAN.

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$^{\dagger}$Kleine Anmerkung: Im unmöglichen (aber idealen) Fall, in dem wir das Ganze sampeln$(u,v)$Ebene, der Dirty Beam sollte eine zweidimensionale Delta-Funktion sein, da$S(u,v)=1$und die Fourier-Transformation einer Delta-Funktion ergibt 1. Da die Faltung jeder Funktion mit einer Delta-Funktion die ursprüngliche Funktion ergibt, haben wir diese

$$I^D(x,y)=\delta(x,y)*I(x,y)=I(x,y)$$ wie wir erwarten würden; Perfekte Abtastung bedeutet, dass das schmutzige Bild mit dem wahren Himmelsbild identisch ist.