Wie finde ich die Spannung eines Kondensators in einem Operationsverstärker + RC-Netzwerk?

Diese Übung ist wirklich gut, weil sie viel Material in einer scheinbar einfachen Frage abdeckt. Die meiste Arbeit, die Sie geleistet haben, ist gut (außer dass Sie das Vorzeichen von e falsch verstanden haben), aber Sie haben einen Schlüsselaspekt übersehen, wie Sie sehen werden.

Verzeihen Sie mir, dass ich die Schaltung mit einigen zusätzlichen Beschriftungen neu gezeichnet habe, da dies die spätere Bezugnahme erheblich erleichtern wird.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Wenn ich schreibe$V_{OUT}$Ich beziehe mich auf das Potential am Knoten "OUT" relativ zu Masse (0 V). Das Potential am Knoten "P" ist$V_P$, usw. Die Spannung an R1 wird sein$V_{R1}$, die Spannung an R2 ist$V_{R2}$usw. Angesichts dessen$V_{C1} = V_{OUT} - 0V = V_{OUT}$, sage ich nur$V_{OUT}$anstatt sich auf die Spannung an C1 zu beziehen. Ströme durch Bauteile werden gekennzeichnet$I_{R1}$,$I_{R3}$usw.

Übrigens bezeichnen wir die Eingänge des Operationsverstärkers normalerweise nicht als "positiv" und "negativ", da es Raum für Verwechslungen zwischen diesen Eingängen und seinen Versorgungsanschlüssen gibt. Die richtigen Begriffe sind "nicht invertierend" (für den "+"-Anschluss) und "invertierend". In meinem Diagramm habe ich bewusst die Knotennamen "P" und "Q" gewählt, um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, und weil das wiederholte Sagen "die Spannung am nichtinvertierenden Eingang" schnell langweilig wird. Sprichwort "$V_P$„ist so viel einfacher.

Beginnen Sie wie Sie, indem Sie den Status des Systems für ermitteln$t < 0$, nachdem er lange Zeit so war, seit der Schalter in seiner offenen Position ist, ist der Knoten P mit Masse verbunden, und so:

$$V_P(t<0) = 0V$$

Sie haben das Verhalten des Opamps richtig beschrieben. Das heißt, wenn es ideal ist und negatives Feedback hat, passt es seine Ausgabe an$V_E$um den Zustand zu erhalten$V_Q = V_P$. Sie können das wahrscheinlich intuitiv sehen$V_Q$gleich sein wie$V_P = 0V$, der einzige Weg, der wahr sein kann, ist if$V_E = 0V$Auch. Allerdings werde ich Ihrem Beispiel folgend formell ableiten$V_E$:

$$V_Q = V_P = 0V$$

$$0V + V_{R2} = V_Q = 0V$$

$$V_{R2} = 0V$$

$$I_{R2} = \frac{V_{R2}}{R_2} = \frac{0V}{R_2} = 0A$$

Finden$V_E$:

$$I_{R1} = I_{R2} = \frac{V_E}{R_1 + R_2}$$

$$\begin{aligned} V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 0A \times (R_1 + R_2) = 0V \end{aligned}$$

Der Operationsverstärker reagiert folgendermaßen auf Änderungen in seinem Ausgang: Wenn etwas zu niedriger wird$V_E$, wie z. B. eine an seinen Ausgang angeschlossene Last, die einen entsprechenden Einbruch verursacht$V_Q$. Der Operationsverstärker hat jetzt einen Unterschied ungleich Null zwischen$V_Q$an seinem invertierenden Eingang und$V_P$an seinem nichtinvertierenden Eingang.

Qualitativ jetzt$V_P - V_Q > 0$, und wie Sie wissen, versucht der Operationsverstärker, diesen Unterschied zu verstärken (denken Sie daran$V_E = A(V_P-V_Q)$, wobei A die Open-Loop-Verstärkung des Operationsverstärkers ist.) Dies verursacht$V_E$zu steigen, im Gegensatz zu genau der Störung, die ihn überhaupt erst fallen ließ. Es wird weiterhin sein Potenzial steigern, härter und härter, bis es die Gleichheit zwischen ihnen wiederherstellt$V_P$Und$V_Q$. Das gleiche Verhalten verhindert auch$V_E$vom Aufstehen.

Auf diese Weise ist der Operationsverstärker in der Lage, seine Ausgabe aufrechtzuerhalten$V_E$bei welcher Spannung auch immer notwendig ist, um zu halten$V_P - V_Q = 0V$, oder$V_P = V_Q$. Entscheidend ist die Beziehung zwischen$V_E$,$V_Q$,$V_P$,$R_1$Und$R_2$(das wir oben abgeleitet haben) ist unabhängig von jeder Last, die an den Ausgang des Operationsverstärkers angeschlossen ist. Sie sehen C1 oder R3 in diesen Gleichungen überhaupt nicht. Aus diesem Grund sagen wir, dass ein Operationsverstärker mit negativer Rückkopplung eine Ausgangsimpedanz von 0 Ω hat. Sie können alles, was Sie wollen, an diesen Ausgang hängen, und (vorausgesetzt, es ist "stark" genug), es wird jeden Kampf darüber gewinnen, wer über den Wert entscheiden darf$V_E$.

Und hier ist das, was Sie verpasst haben: Aus diesem Grund kann der Ausgang des Operationsverstärkers als ideale Spannungsquelle von Wert behandelt werden$V_E$, abhängig nur von$V_P$. Als$V_P$Änderungen,$V_E$ändert sich entsprechend (wie durch Feedback definiert), aber sonst nichts, absolut nichts kann sich ändern$V_E$.

In dieser Schaltung haben R3 und C1 keinen Einfluss darauf$V_E$, Und$V_E$kann als hartnäckige, ideale Spannungsquelle behandelt werden. Es kann auch eine Batterie sein, was R3 und C2 betrifft, können sie den Unterschied nicht erkennen.

Angesichts unserer Ableitung für$V_E(t<0)$oben können Sie das getrost sagen$V_E$wird null Volt sein, unabhängig davon, was daran angeschlossen ist. Und dasselbe gilt für$V_E(t \ge 0)$, wie wir jetzt ableiten werden.

Wenn der Schalter zum Zeitpunkt geschlossen ist$t=0$, Knoten P ist mit der Spannungsquelle V1 verbunden:

$$V_P(t \ge 0) = V_S = +6V$$

Für diese neue Bedingung gelten beim Finden die gleichen Regeln und Gleichungen$V_E$:

$$\begin{aligned} V_Q &= V_P = 6V \newline \newline I_{R2} &= \frac{V_Q}{R_2} \newline \newline &= \frac{6V}{10k\Omega} \newline \newline &= 600 \mu A \newline \newline V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 600 \mu A \times (10k\Omega + 10k\Omega) \newline \newline &= 12V \end{aligned}$$

Als Randbemerkung bin ich sicher, dass Sie mit dieser Schaltung vertraut sind:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Es ist der allgegenwärtige nicht invertierende Verstärker, bei dem:

$$V_{OUT} = V_{IN}(1 + \frac{R1}{R2})$$

Können Sie sehen, dass dieses "Modul" genau das ist, was Sie in Ihrer eigenen Schaltung haben? Bitte verstehen Sie auch die Bedeutung der Tatsache, dass diese Formel völlig unabhängig von allem ist, was am Ausgang angeschlossen ist. Dies gilt unabhängig von der Last aus den oben genannten Gründen, nämlich dass der Operationsverstärker eine negative Rückkopplung hat, die dazu führt, dass er seinen Ausgang auf jede erforderliche Weise anpasst, um seine invertierenden und nicht invertierenden Eingänge auf demselben Potenzial zu halten es ist in der Lage, den Einfluss jeder Last zu überwinden.

Stecken Sie unsere Werte für ein$V_P$,$R_1$Und$R_2$:

$$V_{OUT}(t < 0) = V_{IN}(t < 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 0V \times (1 + \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 0V$$ $$V_{OUT}(t \ge 0) = V_{IN}(t \ge 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 6V \times (1+ \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 12V$$

Wie Sie sehen können, stimmen beide Bedingungen mit unserer strengeren Analyse oben überein. Ich nehme an, die Moral ist, dass Sie in allen Schaltkreisen, die Sie analysieren möchten, nach solchen "Bausteinen" suchen sollten, damit Sie die bereits abgeleiteten, bewährten Formeln anwenden können, anstatt alles von Grund auf zu erarbeiten jedes Mal.

Das letzte, was Sie tun müssen, ist, sich Ihre Schaltung im Lichte der Tatsache "vorzustellen", dass wir zwei Bedingungen haben, in denen der Operationsverstärker zu einer einfachen Spannungsquelle geworden ist, von 0 V (bevor der Schalter geschlossen wurde) und 12 V (danach) :

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

In der linken Version (t < 0) gibt es keine Spannungsquelle, da eine Null-Volt-Quelle effektiv eine direkte Verbindung zur Erde ist. Ich überlasse es Ihnen jetzt, die Übung abzuschließen, die den Wert von "beweisen" soll$V_{OUT}$manchmal$t = 0$Und$t \gg 0$.

Ja, bis t=0 ist alles auf Null Volt. Was passiert danach?

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Irgendwie haben Sie es geschafft, das Vorzeichen für die endgültige Ausgangsspannung falsch zu machen.

$$\frac {0 - 6}{10} - \frac {6 - e}{10} = 0$$

$$\frac {0 - 6}{10} + \frac {e - 6}{10} = 0$$

$$0 - 6 + e - 6 = 0$$

$$e = 12$$

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Denken Sie daran, dass der Ausgang eines idealen Operationsverstärkers eine Spannungsquelle ist. Was bedeutet dies in Bezug auf den vom Kondensator "gesehenen" Widerstand?