Wie findet man die optimale Startbahn für eine Rakete, die von einem Planeten mit Atmosphäre gestartet wird?

Ich habe diese Frage ursprünglich beim Mathe-Stack-Austausch gestellt

Wie der Titel schon sagt, versuche ich, die optimale Startbahn für eine Rakete zu finden, die von einem Planeten mit Atmosphäre (Erde) gestartet wird, um die Nutzlast in die Umlaufbahn zu maximieren. Ich muss ein Physikprojekt im zweiten Jahr machen und würde gerne vermeiden, einen Fuß in ein Labor zu setzen, also versuche ich, etwas mathematischerer Natur zu sein, und wenn ich ehrlich bin, möchte ich wissen, wie man Kerbal Space Program spielt optimaler.

Mein Hintergrund ist, dass ich im zweiten Jahr an einer Universität studiere und theoretische Physik studiere (Mathematik & Physik so ziemlich). Ich habe lineare Algebra 1 & 2, (Newtonsche) Mechanik 1 & 2, Calculus 1 & 2 und einige Physikmodule gemacht, die nicht wirklich relevant sind. Ich mache derzeit Lagrange-Mechanik, reelle Analyse und "Gleichungen der mathematischen Physik", was Fourier-Transformationen, (mehr) Vektorrechnungen, ODEs und einige andere Dinge sind. Die meisten meiner Kenntnisse über die Variationsrechnung stammen aus einem kurzen Überblick darüber, den ich in meinem Lagrange-Mechanik-Kurs bekommen habe. Das Buch für das lineare Algebra-Modul war Algebra von Artin, und für die Lagrange-Mechanik sind die empfohlenen Bücher Landau & Lifshitz, Band 1 und 2, um eine Vorstellung vom Niveau zu geben (ich denke, diese 2 werden am relevantesten sein). Mein Niveau dazu ist, dass ich mit Mühe die Hausaufgaben meistern kann. Was ich von hier wirklich will, sind Bücher / Papiere zum Durchlesen und etwas Hilfe, um die Mathematik darin zu verstehen. Dies ist das erste Mal, dass ich versuche, Papiere zu finden und zu lesen, daher ist jede Hilfe willkommen. Es ist auch das erste Mal, dass ich eine Frage zum Mathe-Stack-Austausch stelle, daher sind auch Kritiken willkommen.

Als ich online nach Ressourcen suchte, hatte ich Probleme, etwas zu finden, das meine Frage beantwortet. Ich hatte etwas Glück mit dem Server für technische Berichte der NASA und fand dieses Papier: Teren, F.; Spurlock, OF: Optimale dreidimensionale Trajektorien für Trägerraketen mit Lage- und Lageratenbeschränkungen, die meine Frage weit zu beantworten scheinen, aber es gibt immer noch einige Dinge, die mir nicht klar sind, z. B. wo die Gleichung und die Beschränkungen optimiert sind komme aus. Das scheint aus "Stancil, RT; und Kulakowski, LJ: Rocket Boost Vehicle Mission Optimization. ARS J., Bd. 31, Nr. 7, Juli 1961, S. 935-942" zu stammen. worauf in einem früheren Artikel von Teren und Spurlock verwiesen wird, der nur eine zweidimensionale Version des Problems betrachtet:, aber ich konnte dieses Papier nicht kostenlos online finden. Ich bin auch auf eine lineare Tangentenlenkung gestoßen, die einen Blick wert sein könnte, vielleicht könnte jemand ein Licht darauf werfen?

Ich werde der Erste sein, der zugibt, dass ich nicht alles verstehe, was in diesen Papieren vor sich geht. Wenn ich also die Antwort auf eine meiner Fragen verpasst habe, entschuldige ich mich im Voraus. Zunächst stellt dieses Papier fest, dass es die atmosphärische Phase außer dem Booster-Kickwinkel nicht berücksichtigt, da man im Allgemeinen die aerodynamischen Belastungen der Rakete minimieren möchte, was durchaus Sinn macht. Bedeutet dies, dass das Papier eine Gravitationswende voraussetzt?wobei das einzige angewendete Drehmoment die Schwerkraft des Planeten ist? Oder löst es es allgemeiner und ermöglicht eine Trägerrakete, die eine kleine Neigungsüberschreitung zulassen kann? Wenn es eine kleine Steigungsüberschreitung zulässt, sollte ich die maximal zulässige verwenden? Ich kann nicht verstehen, warum die Logik, mit der gezeigt wurde, dass Sie das Maximum für die optimierten Teile der Flugbahn verwenden, auch nicht in der Atmosphäre angewendet werden sollte. Ich bin noch nicht dazu gekommen, zu versuchen, meine Anfangs- und Endbedingungen zu lösen, aber wenn jemand einige Tipps dafür geben möchte, wäre er sehr dankbar. Ich bin mit einigen numerischen Methoden vertraut, aber ich habe das Gefühl, dass ich am Ende Schwierigkeiten haben werde, dies numerisch zu lösen, also wären Tipps oder Tricks dafür auch eine große Hilfe.

Wenn Sie das alles gelesen haben, ohne aufzugeben, sind Sie ein Heiliger, und danke, dass Sie sich die Zeit genommen haben, darauf zu antworten.

Dies ist eine sehr, sehr weit gefasste Frage. Wenn ich „optimal“ sehe, bin ich konditioniert zu fragen „in Bezug auf was?“. Wenn Sie ein Modell in Form einer Reihe von Differentialgleichungen, einem Kriterium und Randbedingungen haben, gibt es eine Menge Werkzeuge, um das Problem numerisch zu lösen. Aber für mich kam diese Toolbox in einem 4. Jahr der Graduiertenklasse ...
In Bezug auf die Nutzlast, die eine bestimmte Rakete in eine bestimmte Umlaufbahn starten kann. Ich weiß, es ist eine schwierige Frage, weil ich keine zufriedenstellende Antwort gefunden habe, aber das bedeutet nur, dass ich selbst ein bisschen Arbeit investieren muss. Ich schätze, dass die Toolbox zur Lösung dieses Problems auf einem fortgeschrittenen Graduiertenniveau liegt, sodass ich wenig bis gar keine Chance habe, es zu verstehen, aber ich würde mich dennoch über Hinweise in die richtige Richtung wie Bücher, Websites, Vorlesungsunterlagen, Tutorials usw. freuen.
Die NASA verwendet (oder verwendete) ein Programm namens POST (Program to Optimize Simulated Trajectories). Es wird von ITAR abgedeckt, also können Sie es nicht bekommen, aber dieses Dokument beschreibt es ausführlich und könnte von Interesse sein: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770012832.pdf
Ich habe es gerade nur überflogen, aber das sieht nach einem sehr interessanten Papier aus, es sollte eine große Hilfe sein. Es ist schade um ITAR, aber na ja. Danke schön.
Sie sollten sich um eine optimale Steuerung kümmern! Dies ermöglicht es Ihnen, bestimmte Kostenfunktionen zu haben, die definieren, was in Ihrem Fall "optimal" bedeutet, und Sie können dann die Variationsrechnung verwenden, um Zustandsgleichungen zu entwickeln, die Sie numerisch integrieren können und die eine optimale Lösung basierend auf Ihrer Problemstellung ergeben.

Antworten (1)

Willkommen auf der Seite! Ich fürchte, die Antwort, nach der Sie suchen, ist nicht die, die Sie wollen. Um es kurz zu machen, die optimale Gravitationskurve muss numerisch berechnet werden, da das atmosphärische Dichteprofil und das Geschwindigkeitsfeld inhärent numerisch basierend auf den örtlichen Bedingungen zum Zeitpunkt des Starts definiert sind. (Es gibt die Standardatmosphäre und dann die Berücksichtigung von Jetstream und so.)

Sie haben erwähnt, dass Sie derzeit Lagrangians und ODEs studieren. Das ist perfekt für dieses Problem. Letztendlich besteht das Ziel einer Schwerkraftwende darin, eine „Kosten“-Funktion zu minimieren, die wir als das gesamte während des Starts verbrauchte Delta-V definieren. Wenn wir den Pitchover-Winkel der Rakete zeitlich definieren als θ ( T ) , und Sie kennen die Masse und das Schubprofil der Rakete rechtzeitig M ( T ) , τ ( T ) , können Sie die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Bewegungsgleichungen lösen.

M R ¨ = τ ( T ) cos ⁡ ( θ ( T ) ) + M ϕ ˙ 2 R − M G ( R ) − F ziehen ( R , R ˙ , ϕ ˙ , θ ( T ) , . . . ) R ^
M R ϕ ¨ = τ ( T ) Sünde ⁡ ( θ ( T ) ) − 2 R ˙ ϕ ˙ − F ziehen ( R , R ˙ , ϕ ˙ , θ ( T ) , . . . ) ϕ ^

Wie Sie sicher denken, haben diese Gleichungen viele Terme, sind nichtlinear (so lästig ϕ ˙ 2 / R macht uns wirklich zu Standardlösungstechniken) und besteht letztendlich aus Funktionen, die selbst numerisch definiert sind. Die Luftwiderstandsfunktion benötigt das atmosphärische Dichteprofil (mindestens) zusammen mit dem Luftwiderstandsbeiwert für 0 AoA. Wenn Sie AoA ungleich Null, Überschallwiderstand usw. wollen, dann ist das die Ellipse.

Die Kostenfunktion ist in diesen Gleichungen durch Ihre Wahl begraben M ( T ) Und τ ( T ) , denn dieser bestimmt Ihren spezifischen Impuls. Letztendlich stelle ich mir vor, dass Sie die Gesamtmasse für einen Startfall minimieren möchten, aber es kann Gründe geben, die Masse nicht zu minimieren. Nehmen Sie den Saturn V, die erste Stufe war RP-1-betrieben mit einem schrecklichen spezifischen Impuls von 256 Sekunden. (Im Prinzip) Hätten sie es mit LH2/LOX und besseren Motoren leichter machen können? Ja. War die Technik dafür praktisch? Nein, sie konstruierten die F1-Triebwerke mit Blick auf maximalen Schub, um die zweite Stufe und den Rest der Rakete auf eine Höhe zu werfen, in der die J-2-Triebwerke effizient arbeiten konnten.

Davon abgesehen gibt es einige einfache Fälle, für die jemand (nicht ich) bereits seine Hausaufgaben zu Schwerkraftkurven unter verschiedenen optimalen Bedingungen gemacht hat. Deshalb werde ich sie hier verlinken.

Aufstiegsprofile (einschließlich Gravitationswende, Schub der Triebwerke, AoA usw.) werden kurz vor (<1 Tag) dem Start unter Verwendung der besten verfügbaren Vorhersagen und Messungen der Atmosphäre berechnet. Natürlich gibt es immer noch einige Fehler in diesen Modellen, und daher gibt es eine begrenzte Regelung der ersten, zweiten (und möglicherweise dritten) Stufe, um diese Fehler zu korrigieren und die Zielumlaufbahn zu erreichen.

Ich hoffe, das klärt Sie auf und beantwortet die Frage etwas. Ich empfehle dringend, die Gleichungen nach Möglichkeit in Mathematica oder einer ähnlichen Software aufzustellen und das Aufstiegsprofil zu optimieren, indem die Funktion für Schub und Neigungswinkel modifiziert wird.

Ich habe nichts gegen eine numerische Antwort, angesichts der Anzahl von Einschränkungen, von denen ich angenommen hatte, dass sie numerisch gelöst werden müssten. In Ihren Gleichungen vermute ich, dass Tau Schub ist und dass m implizit eine Funktion der Zeit ist? Was die Minimierung der Masse betrifft, wäre das schön, aber das Ziel ist es, die Nutzlast für eine bestimmte Rakete zu maximieren, sei es eine effiziente oder ineffiziente. Ich sehe einige Dinge, die ich dem Beitrag hinzufügen sollte, um ihn klarer zu machen, also werde ich das jetzt tun. Ich nehme nicht an, dass Sie Bücher empfehlen könnten, die dies einschließlich der atmosphärischen Phase behandeln? Alle, die ich gefunden habe, sind direkt in die In-Orbit-Phase gesprungen.
Ja, tau ist Durst und m ist eine explizite Funktion der Zeit (die Kraftstoffverbrauchsrate ist bekannt). Wenn Sie also mit einer bestimmten Rakete arbeiten, sind diese Funktionen von Flugbahn zu Flugbahn größtenteils gleich, aber geringfügige Variationen können vorgenommen werden, um eine bestimmte Schwerkraftkurve besser zu optimieren. (Die Raketentriebwerke können bis zu einem gewissen Grad gedrosselt werden)
Habe ich also völlig falsch verstanden, was diese von mir verlinkten Papiere zu tun versuchten?
Nach dem, was ich gelesen habe, bilden die Papiere eine mathematische Methode für eine Standard-Schwerkraftdrehung bei gegebenen Downrange- und Pitchover-Einschränkungen, die den Großteil der Nutzlastmaximierung liefern, wobei der größte Teil des Manövrierens über der Atmosphäre erfolgt. Sie sind die richtigen Ressourcen für Ihr Projekt, soweit ich das beurteilen kann, aber Sie sollten auch bedenken, wann sie veröffentlicht werden (1960er Jahre). Ich habe Ihre Frage als Feinabstimmung dieser Methoden angesichts der lokalen Atmosphäre und geringfügiger Schubschwankungen interpretiert, bei denen wir die Ergebnisse jetzt in Sekundenschnelle berechnen können, während diese schnelle Iteration damals nicht verfügbar war.
Es tut mir leid, dass ich nicht weiterhelfen kann. Mir sind keine Ressourcen bekannt, die speziell das Manövrieren in der Atmosphäre in Betracht ziehen. Die verlinkten Papiere berücksichtigen tatsächlich Variationen über der Atmosphäre. Etwas, das hilfreich sein kann, ist die Untersuchung von Langzeitverbrennungen. Obwohl sich diese hauptsächlich mit Ionenmotoren und dergleichen befassen, könnten einige Optimierungsstrategien von diesen gut auf dieses Problem übertragen werden
Du warst mir eine große Hilfe und dafür danke ich dir. Soweit ich das beurteilen kann, steht die atmosphärische Phase normalerweise nicht zur Optimierung zur Verfügung, da man normalerweise die Belastung der Trägerrakete minimieren möchte. Es wäre schön, Schwankungen im Schub berücksichtigen zu können, aber ich denke, ich kann es sicher vermeiden, mir Gedanken über lokale atmosphärische Bedingungen zu machen, da dies kein sehr großes Projekt sein soll. Ein Modell, das für die Überholung des KSP-Realismus geeignet ist, sollte die Aufgabe erfüllen. Ich werde mich mit Langzeitverbrennungen befassen und wahrscheinlich mit weiteren Fragen zurückkommen. Vielen Dank für die Hilfe noch einmal.
Wie findet man die optimale Startbahn für eine Rakete, die von einem Planeten mit Atmosphäre gestartet wird?
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