So bestimmen Sie ΔvΔv\Delta v Verlust durch Anziehungskraft von der Erde

Dies ist das Problem, das als Optimierung der Startbahn bekannt ist. Das ist ein kompliziertes Problem, das meistens eine numerische Simulation erfordert. Das bedeutet jedoch nicht, dass wir aus einem analytischen Ansatz nützliche Zahlen und Erkenntnisse gewinnen können!

Zunächst können wir mit einer ungenauen, aber brauchbaren Schätzung beginnen. Die fehlerhafte Annahme lautet wie folgt: „Unsere Rakete kämpft für eine Zeit von gegen die Schwerkraft$T$, also die verloren$\Delta v=Tg$"

Die Atlas-Rakete fliegt für$253s+926s=1179s$, also die verloren$\Delta v=1179s \cdot g=11500\frac{m}{s}$. Das ist mehr als die Summe$\Delta v$der Rakete...

Was ist also das Problem? Es stellt sich heraus, dass Kraft eine Vektorgröße und kein Skalar ist. Unsere Rakete beschleunigt meistens nicht in die direkt entgegengesetzte Richtung der Schwerkraft, tatsächlich wollen wir die Geschwindigkeit normal zur Schwerkraft gewinnen, um eine Umlaufbahn zu erreichen.

Wenn wir einige Kraftvektoren zeichnen, können wir deutlich sehen, dass die Gesamtbeschleunigung je nach Winkel größer ist als der Wert, den wir durch einfache Subtraktion erhalten. (Wenn wir nach unten beschleunigen, bekommen wir sogar einen kleinen Bonus von der Schwerkraft).

Komplikation 1:$\Delta v$Der Verlust hängt von der Flugbahn ab

Aber es gibt noch mehr Dinge zu beachten. Warum muss die Rakete zum Beispiel nicht mehr gegen die Schwerkraft ankämpfen? Nun, es hat Umlaufgeschwindigkeit gewonnen. Aber "Orbitalgeschwindigkeit" ist kein binäres Umschalten, alles ist eine Umlaufbahn, die langsameren kreuzen einfach die Erde, was für einen Satelliten nicht wünschenswert ist.

Stattdessen stoßen wir gegen eine "vertikale Beschleunigung" (die Richtung ändert sich natürlich, während wir umkreisen, also sehen wir dies in einem rotierenden Bezugsrahmen). Wir können dies aus der Kreisbahngeschwindigkeit ausdrücken,$v_c$:

Komplikation 2: Die vertikale Beschleunigung hängt von der Geschwindigkeit ab

Eine ideale Strategie wäre also, so schnell wie möglich horizontale Geschwindigkeit zu erreichen, mit gerade genug vertikaler Beschleunigung, um der Schwerkraft entgegenzuwirken. Dies ist jedoch nicht sehr nützlich, da der Luftwiderstand extrem groß sein wird und Ihre Rakete am Ende gegen die Seite eines Berges krachen wird.

Ein Kompromiss besteht darin, in einer fast senkrechten Position zu starten und immer parallel zum aktuellen Geschwindigkeitsvektor zu beschleunigen. Dies ist effizient, da das parallele Addieren von Vektoren den längsten resultierenden Vektor ergibt. Diese Flugbahn hat auch die nette Eigenschaft, dass die Gravitationsbeschleunigung die Rakete langsam horizontal drehen wird. Mit etwas Planung landet die Rakete mit Umlaufgeschwindigkeit auf der Zielhöhe. Dies ist als Schwerkraftwende bekannt .

Sie haben jetzt:

• Horizontalbeschleunigung, abhängig von Schwerkraft und Vertikalgeschwindigkeit
• Schwerkraft, abhängig von der Höhe, abhängig von der vertikalen Beschleunigung über die Zeit
• ...
• Und eine Tonne mehr.

Das resultierende System von Differentialgleichungen ist viel zu kompliziert, um es richtig zu lösen.

Darüber hinaus müssen Sie die Atmosphäre berücksichtigen, da diese Ihre Flugbahn beeinflusst (und$I_{SP}$...)

TL;DR Sie müssen eine numerische Simulation verwenden.

Wie also könnte eine solche Simulation implementiert werden? Hier ist eine kurze Skizze: (SVG-Quelle in der Antwortquelle für alle, die sie verbessern möchten)

1. Erster Aufstieg (rot). Beschleunigen Sie vertikal und simulieren Sie Luftwiderstandsverluste. Die meisten davon sollten hier sein.
2. Schwerkraftwende (blau). Fangen Sie an, etwas horizontale Geschwindigkeit aufzunehmen, und lassen Sie die Schwerkraft Ihre Rakete umdrehen. Wiederholen Sie dies für mehrere Winkel, um Ihre bevorzugte Endhöhe zu erhalten. Ignorieren Sie den Widerstand für diesen Teil.
3. Letzte Umlaufbahn (rosa). Keine Beschleunigung mehr erforderlich.