Finden Sie die Sprungbedingung der Massenküste eines Startfahrzeug-Aufstiegsproblems, das über eine indirekte Methode gelöst wird (Pontryagin-Minimumprinzip).

Question

Finden Sie die Sprungbedingung der Massenküste eines Startfahrzeug-Aufstiegsproblems, das über eine indirekte Methode gelöst wird (Pontryagin-Minimumprinzip).

Lamont

Ich versuche, ein Flugbahnoptimierungsproblem für eine Klasse von Problemen wie die alten Altas-Centaur SLV3 Centaur-Trägerraketen zu lösen. Das sind ein Bühnenbild und ein halbes Designwo die 2 LR-87-Triebwerke zu einem optimierten Zeitpunkt abgeworfen werden und die Rakete auf dem LR-105-Halter weiterfährt. Da dies eine optimierte Staging-Zeit ist, die zwei verschiedene Brennphasen auf beiden Seiten hat und keinen Brand-Küsten-Übergang - mit Massen- / Schub- / ISP-Unterbrechungen - keiner der typischen mathematischen Tricks, um die Integration der Masse zu eliminieren Kosten gilt. Ich glaube, der Weg, dies zu lösen (?), besteht darin, dass die Massenküste integriert und die Weierstrauss-Erdmann-Eckbedingung auf die Kontinuität des Hamilton-Operators über die Inszenierungszeit angewendet werden sollte. Ohne Berücksichtigung der Diskontinuität in der Massenküste gibt es jedoch eine Diskontinuität im Hamilton-Operator, und daher kann diese Einschränkung nicht angewendet werden.

Ich habe dies gelöst, indem ich ein Optimierungsproblem mit fester Zeit mit einer Liniensuche nach der optimierten Zeit umwickelt und validiert habe, dass mein Problem einen vernünftigen optimalen Wert hat. Ich habe auch bestätigt, dass abgesehen von den Diskontinuitäten die Berechnung des vollständigen Hamilton-Operators angesichts meiner Integration der Massenküste schrittweise konstant ist. Für variierende feste Staging-Zeit-Trajektorien um die optimale Lösung ändert sich die Diskontinuität im Hamilton-Wert.

Der Ansatz, den ich verfolge, ist ähnlich dem in z. B. Lu, et al. 2008, obwohl ich nur das Vakuumproblem löse und einen ODE-Integrator verwende, anstatt die analytischen Lösungen des linearisierten Gravitationsproblems zu verwenden. Damit wird die gleiche numerische Konditionierung angewendet $g_0 = \mu / R_0^2$ und die Entfernungen sind skaliert $R_0$ die Geschwindigkeiten durch $\sqrt{R_0 g_0}$ und Zeit bis $\sqrt{R_0 / g_0}$ . Also minimiere ich den integrierten Schub:

J = - \int_{T_{0}}^{T_{F}} \frac{T}{C} D T

$J = - \int_{t_0}^{t_f} \frac{T}{c} dt$

Mit dem Hamiltonian:

\begin{aligned} H & = P_{R}^{T} v - P_{v}^{T} \frac{R}{R^{3}} + P_{v}^{T} 1_{T} A_{T} - P_{M} \frac{T}{C} - \frac{T}{C} \\ = P_{R}^{T} v - P_{v}^{T} \frac{R}{R^{3}} + T (\frac{P_{v}^{T} 1_{T}}{M G_{0}} - \frac{P_{M}}{C} - \frac{1}{C}) := H_{0} + T S \end{aligned}

$\begin{align} H &= P_r^T V - p_V^T \frac{r}{r^3} + p_V^T 1_T A_T - p_m \frac{T}{c} - \frac{T}{c} \\ &= P_r^T V - p_V^T \frac{r}{r^3} + T \left( \frac{p_V^T 1_T}{m g_0} - \frac{p_m}{c} - \frac{1}{c} \right) := H_0 + T S \end{align}$

Beachten Sie, dass sich dies von Gleichung 10 in der obigen Referenz unterscheidet, da die linearisierte Schwerkraftnäherung nicht durchgeführt wird (was keine Rolle spielen sollte). Für die meisten typischen Burn-Coast-Probleme können wir schreiben $H_0^{-} + T^{-} S^{-} = H_0^+ + T^+ S^+$ und wir können die Konstanz von verwenden $H_0$ über eine Küste und das von $T^{-}$ oder $T^{+}$ Null sind, um die Beschränkungen zu vereinfachen. In diesem Fall ist keine Seite also eine Küste $H_0$ ist nirgendwo konstant und T ist auch auf beiden Seiten der Ecke nicht Null.

Die Integration der Massenkosten und der Terminalbeschränkung für das Problem der freien Endzeit sind:

\begin{aligned} P_{M}^{^{'}} & = \frac{T | P_{v} |}{M^{2} G_{0}} \\ P_{M} (T_{F}) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} p_m^{'} &= \frac{T \left| p_V \right|}{m^2 g_0} \\ p_m(t_f) &= 0 \end{align}$

Den Rest des Problems der Integration des Staates und anderer Staatsstaaten werde ich auslassen, aber Beispiele finden sich in dem obigen Papier.

Wenn die mal $t_0, t_1, t_2, t_f$ entsprechen dem Start, dem Abwerfen der Triebwerke, dem Abwerfen der Atlasstufe und dem endgültigen (freien) Einsetzen in die Orbitalbedingungen. Dann versuche ich, die Einschränkung zu verwenden:

H (T_{1})^{-} = H (T_{1})^{+} + Δ H

$H(t_1)^- = H(t_1)^+ + \Delta H$

Ich kann das durch Substitution lösen, aber das schränkt das Problem nicht ein, es ist nur eine Tautologie. Das muss ich finden $\Delta H$ über andere Mittel. Beachten Sie, dass es auch eine Diskontinuität bei gibt $t_2$ auch aufgrund von Massenabwurf, aber diese Zeit ist nicht optimiert und wird durch die Wahl von festgelegt $t_1$ und die Einschränkung, dass der Treibstoff für die Erhaltungsphase ausgeht.

Antworten (1)

Finden Sie die Sprungbedingung der Massenküste eines Startfahrzeug-Aufstiegsproblems, das über eine indirekte Methode gelöst wird (Pontryagin-Minimumprinzip).

Lamont · Answer 1

Ich glaube, ich habe das gelöst, obwohl es einige Lücken gibt, die ich nicht ganz verstehe.

Das erste Problem ist, dass dies kein Problem ist, das durch Minimieren der integrierten Schubbeschleunigung gelöst werden kann. Die Lösung dieses Problems führt dazu, dass die Booster mit dem Sustainer verbrannt werden, bis der Tank trocken ist, was zu einer geringeren gelieferten Endmasse führt. Um ein anderthalbstufiges Problem zu lösen, muss die Metrik die Endmasse maximieren $J = - m_f$ .

Der Hamiltonian verliert dann die $-T/c$ Term, die Transversalitätsbedingung auf der Massenküste wird $P_m(t_f) = 1$ , und dies erfordert nun die Integration der Massenküste. Dies führt zu all den numerischen Problemen, die in dem oben zitierten Artikel erwähnt werden, die durch Normalisierung der Masse durch die unterstützt werden können $m_0$ des Behälters (und Normalisierungskräfte usw.).

Sobald wir dies getan haben, können wir Bryson und Ho, Abschnitt 3.7, „Diskontinuitäten in den Zustandsvariablen an inneren Punkten“ (Seite 106) verwenden. Booster-Abwurf rufen $t_1$ und Sustainer-Cutoff $t_2$ Wir haben einen völlig freien Punkt an $t_1$ also haben wir in Gleichung 3.7.13 $\frac{\partial \phi}{\partial t_1} = 0$ was zur Stetigkeit des Hamilton-Operators führt $t_1$ , So $H^+(t_1) - H^-(t_1) = 0$ .

Wir haben $\Phi = -m_f + \nu ( m^-(t_1) - m^+(t_f) - \Delta m_1$ und Anwenden von 3.7.11 und 3.7.12 und triviales Eliminieren $\nu$ führt zur Kontinuität der Massenküste bei t_1, also: $P_m^-(t_1) - P_m^+(t_1) = 0$ . Dies gibt uns eine Bedingung für die Kontinuität der Masse und eine Bedingung für den Freizeitparameter, kombiniert mit den restlichen Bedingungen der Kontinuität (oder Diskontinuität im Fall der Masse), die die erforderlichen Gleichungen bei vervollständigen $t_1$ . Ich hätte hier eine Diskontinuität in der Massenküste und / oder im Hamiltonian erwartet, aber andere Lesungen, die ich gemacht habe, zeigen, dass an dieser Art von optimierten Innenpunkten die Diskontinuitäten "entfernbar" sind.

Für $t_2$ Ich werde etwas verwirrt, weil es scheint, dass die Zeit durch die Auswahl von festgelegt werden sollte $t_1$ und die Dynamik, also würde ich eine Sprungbedingung im Hamiltonian erwarten und hätte erwartet, dass die Massenküste kontinuierlich ist. Nachdem ich einfach ein bisschen auf das Problem eingeschlagen habe, ist das rückwärts und ich bekomme die richtigen Antworten von der Einstellung $H^+(t_2) - H^-(t_2) = 0$ und das Zulassen einer Diskontinuität in der Massenküste (diese Gleichung wird seitdem aus dem Problem weggelassen $t_2$ ist kein freier Parameter). Für die Endbrennzeit verwende ich dann $H(t_f) = 0$ und müssen das verwenden und können keinen der Tricks anwenden, die üblicherweise beim Lagrange-Problem der integrierten Minimierung der Schubbeschleunigung verwendet werden. Ich finde auch, dass das Ergebnis, dass der Hamilton-Operator kontinuierlich sein muss und die Küstensprünge im Gegensatz zu Ergebnissen aus einfachen mehrstufigen Fahrzeugen mit Massen-Kosten-Integration stehen, bei denen an den festen inneren Punkten der Hamilton-Operator aufgrund von Massenabwurf springt und der Massen-Kostenfortschritt kontinuierlich sein muss .

Das resultierende Problem ist empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen und empfindlicher als ein typisches Raketenproblem. Es scheint am besten zu sein, etwas "Fahrzeughomotopie" anzuwenden und das Problem zu lösen, indem die Booster nicht fallen gelassen werden, bis der Sustainer Burnout (behoben $t_1 = t_2$ ) und Anwenden von unendlichem ISP auf die obere Stufe (unter Verwendung der typischen Lagrange-Formulierung und Weglassen der Integration der Massenküste), dann Verwenden der Küste und der Werte aus diesem gelösten Problem als erste Vermutung für das eigentliche Problem mit der richtigen oberen Stufe und Zulassen der $t_1$ schweben. Die anfängliche Schätzung der Massenkosten kann bestimmt werden, indem der Rest der anfänglichen Schätzung unter Verwendung des realen Fahrzeugs vorwärts integriert wird und dann die Massenkosten von zurückintegriert werden $P_m(t_f) = 1$ Endzustand.

In Summe:

Wandeln Sie das Mayer-Problem in maximale Endmasse um
Berechnen Sie die Massenkosten
Normalisierung auf die Masse anwenden
Lösen Sie das Lagrange-Problem der normalen Schubbeschleunigung zuerst mit einem ähnlich idealisierten Fahrzeug, um die Vermutung zu begründen

Die zusätzlichen Bedingungen, die den Zeiten und dem Massenpreis entsprechen, werden zu:

\begin{aligned} H^{+} (T_{1}) - H^{-} (T_{1}) = 0 \\ P_{M}^{-} (T_{1}) - P_{M}^{+} (T_{1}) = 0 \\ H^{+} (T_{2}) - H^{-} (T_{2}) = 0 \\ H (T_{F}) = 0 \\ P_{M} (T_{F}) - 1 = 0 \end{aligned}

$\begin{align} H^+(t_1) - H^-(t_1) = 0 \\ P_m^-(t_1) - P_m^+(t_1) = 0 \\ H^+(t_2) - H^-(t_2) = 0 \\ H(t_f) = 0 \\ P_m(t_f) - 1 = 0 \end{align}$

Es gibt keine sechste Bedingung, weil $t_2$ ist nicht frei und wird bestimmt durch $t_1$ und die Sustainer-Dynamik und Endmasse.

Hier stellt sich also immer noch die Frage, warum das Fallenlassen des Sustainers, nachdem ihm der Treibstoff ausgegangen ist, zu einem Sprung in der Massenküste führt, während das Fallenlassen einer ausgebrannten Stufe in einer normalen Rakete zu einem Sprung im Hamiltonian führt. Ich kann irgendwie schielen und sehen, dass es daran liegen muss, dass die Zeit nicht perfekt festgelegt ist und es von der vorherigen Zeit und der Dynamik abhängt, aber ich weiß nicht, wie ich das formal ausdrücken soll.

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Lamont

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Lamont

Lamont

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