Warum liefert der Biegewinkel einer hyperbolischen Bahn unterschiedliche Ergebnisse?

Question

Warum liefert der Biegewinkel einer hyperbolischen Bahn unterschiedliche Ergebnisse?

Sternenmann

Der Biegewinkel ( $\delta$ ) ist der Reflexwinkel zwischen den beiden Asymptoten einer hyperbolischen Bahn.

Aus dieser Stack Exchange-Antwort lautet die Formel zur Berechnung des Biegewinkels:

δ = 2 {Sünde}^{- 1} (\frac{1}{e})

$\delta = 2 \sin^{-1}\bigg( \frac{1}{e} \bigg)$

Wo $e$ ist die Exzentrizität und wird berechnet durch:

e = \frac{R v_{\infty}^{2}}{μ} + 1

$e = \frac{rv_\infty^2}{\mu}+1$

Wo $r$ ist der Abstand des Raumfahrzeugs vom Körper während der engsten Annäherung (Periapsis) und $v_\infty$ ist die Geschwindigkeit, als ob der Gravitationskörper nicht da wäre.

Ich gebe einen beliebigen Wert für ein $v_\infty$ was 21.000 m/s ist, und einer willkürlichen Höhe der Umlaufbahn, die 60.000 km vom Mittelpunkt des Planeten entfernt ist (der einen Radius von 6.371 km hat), um den Gesamtwert von zu erhalten $r = 6.6371 \times 10^7$ Meter. Der GM des Planeten ist auch so erfunden $\mu = 1.47 \times 10^{14}$ . Das gibt mir $e = 200.113$ . Und wenn ich einwechsele $e$ in Gleichung 1 bekomme ich $\delta = 0.573$ .

Ich habe diese hyperbolische Trajektorie auf Desmos gezeichnet und hier ist die Grafik als Referenz (die gepunkteten Linien sind die Asymptoten).

Beachten Sie, dass a = 500 und b = 100.055,25, da dies eine Exzentrizität von 200,113 ergibt, wenn die Gleichung für die Exzentrizität einer Hyperbel verwendet wird $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ . Was ich im Grunde genommen getan habe, war eine willkürliche Auswahl $a$ wert und gelöst für $b$ um eine Exzentrizität von 200,113 zu erhalten.

Frage: Das obige Bild zeigt, dass diese hyperbolische Trajektorie eindeutig einen sehr großen Krümmungswinkel hat, ungefähr $180^o$ (Eigentlich weniger, aber für das Auge sieht es 180 Grad aus). Aber die Formel 1 gab ein Ergebnis von $\delta = 0.573$ . Das können keine Abschlüsse sein. Aber es ist auch nicht Radiant, weil $0.573 rad = 32^o$ . Es kann nicht Bogenminuten oder Bogensekunden sein. Ich dachte dann, dass es Revolutionen sein müssen. Aber eine Umdrehung größer als 0,5 ergibt einen Gradwert von größer als 180 Grad, der kleiner als der Biegewinkel ist. Was ist denn hier los? Verstehe ich etwas falsch?

notovny

Ja, irgendetwas stimmt nicht. mit deinem Bild. Die Exzentrizität scheint in Ordnung zu sein. Bewegen Sie sich für Sie mit fast der doppelten Fluchtgeschwindigkeit der Erdoberfläche

v_{\infty}

$v_\infty$ Mit einer Periapsis von fast 10 Erdradien und einer zentralen Masse, die milliardenfach kleiner als die Erde ist, sollte eine Flugbahn entstehen, die fast eine gerade Linie ist, sodass eine Exzentrizität von mehr als 200 wahrscheinlich vernünftig ist.

notovny

(Ah, ich habe den Gravitationsparameter mit der Planetenmasse verwechselt und das Bearbeitungsfenster verfallen lassen. Trotzdem scheint die Exzentrizität in Ordnung zu sein.)

Organischer Marmor

Ich habe die Zahlen nicht ausgeführt, aber Sie sagen, "r ist die Entfernung des Raumfahrzeugs vom Körper", und die Referenz besagt, dass r der engste Annäherungsradius ist, was sich so anhört, als ob es sich um eine Unterbrechung handeln könnte. Wenn Ihr Diagramm korrekt beschriftet ist, sollte r 4500 und nicht 6,6 x 10 ^ 8 sein

Sternenmann

Ich habe einen Fehler bei der Berechnung des b-Wertes gemacht. Es sind NICHT 4.444, sondern tatsächlich 100.055. Ich habe auch die Formel korrigiert.

e = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

Sternenmann

@OrganicMarble Zum Exponenten 7. Nicht 8. Entschuldigung. Aber ja.

6.6 \times 10^{7}

$6.6 \times 10^7$ ist die engste Annäherung. (Etwa 60.000 km von der Erdoberfläche entfernt). Der Zweck des Desmos-Diagramms besteht darin, zu zeigen, dass der Krümmungswinkel der Asymptoten nicht gleich dem Wert 0,537 ist. Das ist meine Frage. Solange die Exzentrizität 200,1 beträgt, bleibt der Winkel gleich. Also ob es ist

6.6 \times 10^{7}

$6.6 \times 10^7$ oder 4500 ist irrelevant, solange die Exzentrizität 200,1 beträgt.

Antworten (2)

Warum liefert der Biegewinkel einer hyperbolischen Bahn unterschiedliche Ergebnisse?

Ja, irgendetwas stimmt nicht. mit deinem Bild. Die Exzentrizität scheint in Ordnung zu sein. Bewegen Sie sich für Sie mit fast der doppelten Fluchtgeschwindigkeit der Erdoberfläche $v_\infty$ Mit einer Periapsis von fast 10 Erdradien und einer zentralen Masse, die milliardenfach kleiner als die Erde ist, sollte eine Flugbahn entstehen, die fast eine gerade Linie ist, sodass eine Exzentrizität von mehr als 200 wahrscheinlich vernünftig ist.
(Ah, ich habe den Gravitationsparameter mit der Planetenmasse verwechselt und das Bearbeitungsfenster verfallen lassen. Trotzdem scheint die Exzentrizität in Ordnung zu sein.)
Ich habe die Zahlen nicht ausgeführt, aber Sie sagen, "r ist die Entfernung des Raumfahrzeugs vom Körper", und die Referenz besagt, dass r der engste Annäherungsradius ist, was sich so anhört, als ob es sich um eine Unterbrechung handeln könnte. Wenn Ihr Diagramm korrekt beschriftet ist, sollte r 4500 und nicht 6,6 x 10 ^ 8 sein
Ich habe einen Fehler bei der Berechnung des b-Wertes gemacht. Es sind NICHT 4.444, sondern tatsächlich 100.055. Ich habe auch die Formel korrigiert. $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
@OrganicMarble Zum Exponenten 7. Nicht 8. Entschuldigung. Aber ja. $6.6 \times 10^7$ ist die engste Annäherung. (Etwa 60.000 km von der Erdoberfläche entfernt). Der Zweck des Desmos-Diagramms besteht darin, zu zeigen, dass der Krümmungswinkel der Asymptoten nicht gleich dem Wert 0,537 ist. Das ist meine Frage. Solange die Exzentrizität 200,1 beträgt, bleibt der Winkel gleich. Also ob es ist $6.6 \times 10^7$ oder 4500 ist irrelevant, solange die Exzentrizität 200,1 beträgt.

notovny · Answer 1

Es gibt zwei Hauptprobleme, die ich sehen kann.

Was auch immer Sie verwenden, um die zu berechnen $\arcsin$ gibt Ihnen tatsächlich einen Wert in Grad.

Die Parameter, die Sie angegeben haben, sind im Grunde die eines Satelliten, der in mäßiger Entfernung an einem Objekt vorbeirast und sich auf seiner gesamten Flugbahn weit über der Fluchtgeschwindigkeit bewegt. Es kommt weder nahe genug, noch hängt es lange genug herum, um eine signifikante Flugbahnkrümmung zu bekommen, also ja, der Ablenkwinkel beträgt ungefähr 0,57 °.

Außerdem sind Ihre gewählten Werte zur Erzeugung einer Exzentrizität von 200 ausgeschaltet. $\frac{\sqrt{500^2 + 4444^2}}{500} = 8.944$

Um weiter zu expandieren, verwende ich im Allgemeinen die polaren Kegelschnitte für Umlaufbahnen; Sie sind einfacher zu handhaben, wenn man mit Keplers Gleichungen arbeitet.

Sie haben die Periapsis-Distanz und die Exzentrizität: (Bearbeiten: Ursprünglich war die Periapse 10-mal zu groß)

R_{P} = 6.67 \times 10^{7} M

$r_p = 6.67 \times 10^7m$

e = 200

$e = 200$

Von dort aus können Sie die große Halbachse berechnen $a$ als :

A = \frac{R_{P}}{1 - e} = - 3.34 \times 10^{5} M

$a = \frac{r_p}{1-e} = -3.34 \times 10^5 m$

Und die Polargleichung der resultierenden Hyperbel lautet:

R = \frac{A (1 - e^{2})}{1 + e \cos θ} = \frac{R_{P} (1 + e)}{1 + e \cos θ}

$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos \theta}= \frac{r_p(1+e)}{1 + e\cos \theta}$

Und Ihr Vorbeiflug an der Welt, die Sie ausgewählt haben, sieht so aus:

GeoGebra Graph - Hyperbolischer Vorbeiflug

Der violette Kreis am Ursprung ist der zentrale Körper im Vorbeiflug. Ich habe hier beide Keulen der Hyperbel gezeichnet, die grüne ist die eigentliche Flugbahn des Vorbeiflugs und die rot gepunktete Linie ist die andere, keine Flugbahn.

Ein einzelner Lappen einer Exzentrizitäts-200-Hyperbel ist mit dem Auge schwer von einer geraden Linie zu unterscheiden.

@novotny in der Exzentrizitätsformel wird der Nenner nicht quadriert, es sei denn, Sie setzen den ganzen Bruch unter die Quadratwurzel.
@Oscar Lanzi Ah. Ich habe die Formel aus dem ursprünglichen Beitrag genommen und nicht doppelt überprüft. Entschuldigung
@notovny Entschuldigung. Ich habe den Wert von 4.444 festgelegt. Es ist tatsächlich 100.055. Dies ergibt eine Exzentrizität von 200,113. Und ich habe die Formel korrigiert. Der Nenner wird nicht quadriert.
Diese Antwort hat sich stark verbessert, aber eine kleine Klarstellungsanfrage. Ich würde die Lappen in verschiedenen Farben zeichnen, vielleicht den "echten" blauen und den anderen hellgrauen Lappen, um sie angesichts der Form der Hyperbel leichter zu unterscheiden und die tatsächliche Umlaufbahn besser sichtbar zu machen. Danke schön.

Oskar Lanzi · Answer 2

Lassen Sie uns diese eine Sache nach der anderen durchgehen.

Zunächst einmal Ihr Wert für $\delta$ ist eindeutig in Grad. Mit einer Exzentrizität von $200$ , der Kehrwert $1/e$ ist so klein, dass er fast gleich seinem eigenen inversen Sinus ist – in Radiant. $\delta$ ist grundsätzlich $2/200$ Radiant $=0.573°$ .
Beachten Sie als Nächstes, dass die Exzentrizität einer Hyperbel geometrisch gleich dem Abstand von Mittelpunkt zu Fokus dividiert durch den Abstand von Mittelpunkt zu Scheitelpunkt ist. Mit Ihrer Form für die Hyperbel, die Scheitelpunkte auf dem hat $y$ Achse, der ehemalige Abstand ist $\sqrt{a^2+b^2}$ und der letztere Abstand ist $b$ (nicht $a$ ).
Für die hohe Exzentrizität, die Sie rendern, müssen Sie sie haben $a$ größer als $b$ , nicht umgekehrt, und außerdem muss das Verhältnis zwischen ihnen viel höher sein als das $4444/500$ hier angeblich. Wenn die Exzentrizität der oben beschriebenen Hyperbel größer ist als $10$ , Die $b^2$ Begriff unter dem Radikal ist sehr klein, so dass die Exzentrizität nur ein wenig von gerade abweicht $a/b$ . Bei einer Exzentrizität von $200$ , dann brauchen Sie im Grunde $a$ sein $200$ mal $b$ , nicht der $8.888$ Verhältnis hier angegeben.

Geben Sie die Zahlen wie oben ein und Ihre hyperbolische Kurve sollte mit den Formeln übereinstimmen.

Hoppla. Ich weiß nicht, wie ich auf 4.444 gekommen bin. Ich habe die Frage bearbeitet. Der neue b-Wert beträgt 100.055, was eine Exzentrizität von 200,1 ergibt. (Ich habe auch die Formel korrigiert).
Bitte schauen Sie sich noch einmal meinen zweiten Aufzählungspunkt an. ich bin nicht einverstanden mit $\sqrt{a^2+b^2}/a$ wenn Sie die Hyperbel mit Eckpunkten bei zeichnen $(0,\pm b)$ im Gegensatz zu $(\pm a, 0)$ .

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