Wie groß ist die Exzentrizität einer Umlaufbahn (Trajektorie), die gerade nach unten in Richtung Zentrum fällt?

Die Exzentrizität beträgt 1,0.

Die Exzentrizität$e$einer Umlaufbahn kann aus dem Radius von Apoapse und Periapse wie folgt ermittelt werden:

$$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

und die große Halbachse$a$kann auch von:

$$a=\frac{r_a+r_p}{2}$$

Wenn Sie ein Objekt horizontal werfen (Geschwindigkeit senkrecht zum Positionsvektor), landen Sie auf einer geschlossenen Umlaufbahn, wenn Sie langsamer als mit Fluchtgeschwindigkeit werfen, auf einer offenen parabolischen Umlaufbahn, wenn Sie es genau mit Fluchtgeschwindigkeit werfen, oder auf einer offenen hyperbolischen Umlaufbahn, wenn Sie werfen es größer als Fluchtgeschwindigkeit.

Es gibt eine Geschwindigkeit, die zu einer perfekten kreisförmigen Umlaufbahn führt, mit$e=0$. Wir könnten dies genauso gut "Kreisbahngeschwindigkeit" nennen. In der Exzentrizitätsgleichung, wenn$r_a=r_p$Wie bei einer kreisförmigen Umlaufbahn sehen wir, dass der Zähler Null ist, während der Nenner nicht Null ist, sodass der ganze Bruch ebenfalls Null ist.

Wenn Sie langsamer als die Kreisgeschwindigkeit werfen, fällt das Objekt näher an die Mitte, bevor es wieder hochkommt. Je niedriger das Objekt wird, desto niedriger ist die Periapse. In der Exzentrizitätsgleichung, as$r_p$sinkt, wächst der Zähler, während der Nenner schrumpft, also wächst der ganze Bruch. Wenn wir langsamer fahren, erhöhen wir die Exzentrizität.

Der Grenzfall davon ist, wenn Sie es mit Nullgeschwindigkeit werfen, dh Sie lassen es fallen.

Bei einem Objekt, das in ein Gravitationsfeld um eine echte Punktmasse fällt, erhalten Sie am Ende die Apapse als den Radius, bei dem Sie das Objekt fallen gelassen haben, und die Periapse bei Null. Dies ist eine sehr seltsame Umlaufbahn, da das Objekt eine begrenzte Zeit benötigt, um das Zentrum zu erreichen, aber eine unendliche Geschwindigkeit erreicht, sobald es das Zentrum passiert, wo es eine 180 ° -Drehung macht und wieder nach oben rollt, bis es seinen ursprünglichen Tropfen erreicht Höhe bei Nullgeschwindigkeit und startet einen weiteren Zyklus. Sie können Keplers drittes Gesetz verwenden, um die Zeit dieser Umlaufbahn zu bestimmen, da sie immer noch eine wohldefinierte ist$a$.

Eine kugelsymmetrische Masse mit definierter Oberfläche (Dichte Null außerhalb eines bestimmten Radius) hat überall außerhalb ihrer Oberfläche ein identisches Schwerefeld wie eine zentrierte Punktmasse. Daher würde ein Objekt, das auf einem realistischeren Planeten über die Oberfläche fallen gelassen wird, einer Umlaufbahn folgen, die identisch ist mit der, die mit demselben Radius über einer Punktmasse fallen gelassen wird, bis es die Oberfläche trifft. Wenn es durch die Oberfläche gehen würde (sagen wir, Sie hätten ein Loch gebohrt), ist das Gravitationsfeld unter der Oberfläche nicht dasselbe wie das einer Punktmasse.

Immer wenn ich bei einem Baseballspiel bin und eine Pop-Fliege sehe, amüsiert mich der Gedanke, dass der Weg, dem der Ball folgt, nicht wirklich eine Parabel ist, sondern nur das Ende einer sehr ausgedehnten Ellipse, die, wenn sie fortgesetzt würde, die bilden würde gleiche Form in der Nähe des Erdmittelpunktes.

In diesem Fall,$r_p=0$. Der Zähler der Exzentrizitätsfraktion ist gleich$r_a-0=r_a$, und Nenner gleich$r_a+0=r_a$sowie. Die Exzentrizität beträgt genau 1,0 .

"Aber Kwan!" Ich höre dich schreien. "Wenn$e=1$, macht es das nicht zu einer parabolischen Umlaufbahn?" In diesem Fall nein. Eine parabolische Umlaufbahn hat$e=1$ Und $a=\infty$, während die Tropfenbahn hat$e=1$sondern ein entschieden nicht-unendliches$a=r_a/2$.

Dieser Fall ist die Grenze einer Ellipse, die immer dünner wird, wenn sich die Brennpunkte auseinander bewegen. In dieser Grenze befindet sich ein Fokus in der Mitte, einer am Abwurfpunkt, und die Ellipse hat eine Breite von Null, aber eine endliche Länge.

In diesem Bild stellt der Kreis, der sich nicht bewegt, eine Kugel mit dem Radius 1 dar, und die sich bewegende Ellipse stellt eine Umlaufbahn mit einem konstanten Apapsenradius von 2,0, aber einer variierenden Exzentrizität dar.

Beachten Sie, dass dies nicht passieren würde, wenn Sie ein Loch durch die Erde bohren und ein Objekt fallen lassen. Dies gilt nur für eine wahre Punktmasse und berücksichtigt nicht die Relativitätstheorie (eine wahre Punktmasse wäre eine Singularität, und das Objekt würde den Ereignishorizont auf dem Weg nach unten passieren und nie wieder aufsteigen).

Die Exzentrizität einer radialen Umlaufbahn ist$1$, unabhängig von seiner Energie.

Dies ist eine Klasse von Umlaufbahnen, bei denen die Art der Umlaufbahn nicht allein aus der Exzentrizität gefolgert werden kann. Mit einer "traditionellen" parabolischen Umlaufbahn von$e=1$, der Drehimpuls$L$hat einen wohldefinierten Wert, aber die große Halbachse$a$ist nicht definiert. Im Fall einer vertikal begrenzten Umlaufbahn im freien Fall die große Halbachse$a$ein wohldefinierter Wert ist, und der Drehimpuls$L$Ist$0$.

Die Beziehungsgleichung Drehimpuls zu Exzentrizität und großer Halbachse zeigt, wie die Exzentrizität bei gegebenem Drehimpuls berechnet werden kann.

$$l = \sqrt{\mu a(1-e^2)}$$ Für eine parabelförmige Umlaufbahn gilt:$a\rightarrow\inf$, also funktioniert die Bestimmung des Drehimpulses über diese Formel nicht. Für radiale Umlaufbahnen, bei denen sich das Objekt nicht mit exakter Fluchtgeschwindigkeit bewegt, ist diese Formel jedoch gut definiert. Dies würde bedeuten, dass die Exzentrizität für eine radiale Flugbahn unabhängig von der Energie ist$1$. Der Wikipedia- Artikel über orbitale Exzentrizität bestätigt dies.

Radiale Trajektorien werden basierend auf der Energie der Umlaufbahn, nicht der Exzentrizität, als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch klassifiziert. Radiale Umlaufbahnen haben einen Drehimpuls von Null und daher eine Exzentrizität von eins. Wenn die Energie konstant gehalten und der Drehimpuls reduziert wird, tendieren elliptische, parabolische und hyperbolische Umlaufbahnen jeweils zu der entsprechenden Art der radialen Flugbahn, während e zu 1 tendiert (oder im parabolischen Fall 1 bleibt).

Mehrere Definitionen ermöglichen, dass die radiale Umlaufbahn auch eine Exzentrizität von eins hat.

$$e = \frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{2\epsilon l^2}{\mu^2}}$$

mit$\epsilon$die spezifische Orbitalenergie ist. Die Verwendung von other mit Exzentrizität als Eingabe kann jedoch zu undefinierten Ergebnissen führen. Die parametrische Definition schlägt nämlich fehl$\theta=0$:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$$

Das Fazit ist also, dass eine radiale Umlaufbahn eine Exzentrizität von hat$1$unabhängig von seiner Energie. Der Versuch, die Exzentrizität für Orbitalberechnungen zu verwenden, kann jedoch zu undefinierten Ergebnissen führen.

Ich hatte zuvor erwähnt, dass der Kegelschnitt eine Linie ist, aber ich denke, das ist falsch, weil die Umlaufbahn begrenzt werden kann (und in Frage kommt), und dies eine Strecke ist. Ich bin also neugierig auf den Kegelschnitt einer begrenzten Umlaufbahn (und übrigens einer radialen Umlaufbahn mit positiver Energie).