Ich habe im Internet nach einer Schätzung der relativen Position zwischen zwei Satelliten gesucht. Alle Quellen scheinen jedoch auf Methoden hinzuweisen, die für Annäherungsoperationen verwendet werden, bei denen die entwickelte Mathematik davon ausgeht, dass der relative Abstand zwischen den Satelliten im Vergleich zu ihrem Umlaufbahnradius sehr klein ist.
Wie könnte ich anfangen, die Bewegungsgleichungen für die relative Position zwischen zwei (der Einfachheit halber geostationären) Satelliten zu entwickeln?
Hier ist die Antwort eines theoretischen Physikers auf dieses Problem (siehe unten, was ich damit meine). Dies sollte ausreichen, um die relativen Positionen von Satelliten in den Griff zu bekommen, wenn sie weit voneinander entfernt sind und wenn die Zeit nach einer bekannten Position und Geschwindigkeit der Satelliten nicht zu lang ist.
Machen Sie zunächst einige Annahmen:
Die zweite davon ist wahrscheinlich wahr genug: Keine der anderen wird der Fall sein, wenn Sie wirklich gute Antworten wollen.
Also, OK, dann beinhaltet die Umlaufbahn eines beliebigen Satelliten einfach die Lösung des Newtonschen Zwei-Körper-Problems für die Schwerkraft , was vor langer Zeit gemacht wurde und für das es eine geschlossene Lösung gibt. Da angenommen wird, dass die Erde im Vergleich zu den Satelliten sehr massiv ist, kann der Schwerpunkt des Systems als Erdmittelpunkt behandelt werden.
Wenn wir zu irgendeinem Zeitpunkt die Position und Geschwindigkeit eines Satelliten relativ zur Erde kennen, können wir jetzt die geschlossene Lösung verwenden, um uns seine Umlaufbahn für alle Zeiten mitzuteilen. Und das können wir für beliebig viele Satelliten tun.
Das Problem, die relativen Positionen zu kennen, wird nun zur Berechnung des Vektors eines Satelliten von einem anderen. Chancen sind der natürliche Weg, um das Bahnproblem zu lösen, das mit sphärischen Polarkoordinaten basierend auf dem Erdmittelpunkt verbunden ist: Um die Berechnung des Vektors eines Satelliten von einem anderen einfach zu machen, ist es naheliegend, zu kartesischen Koordinaten basierend auf zu wechseln dem Erdmittelpunkt (oder besser auf einem der Satelliten), woraufhin die relativen Vektoren einfach wegfallen. Die Koordinatentransformation von sphärischen Polaren zu kartesischen hat natürlich eine geschlossene Form, also hat all dies eine geschlossene Form, und wir sind fertig.
Also, OK, ich sagte, das sei die Antwort des theoretischen Physikers. Insbesondere habe ich eine Reihe von Annahmen über eine „kugelförmige Kuh“ getroffen, von denen keine wahr ist. Im wirklichen Leben ist die Massenverteilung der Erde nicht ganz kugelförmig (oder sogar zeitlich konstant), der Mond und andere Körper stören die Umlaufbahnen, Satelliten kreisen nicht im vollständigen Vakuum und so weiter und so fort. Das bedeutet, dass die Berechnung tatsächlicher Umlaufbahnen – Umlaufbahnen, die gut genug für Dinge wie Kollisionsvorhersage usw. sind – sowohl Störungen von den oben diskutierten idealen Umlaufbahnen als auch wahrscheinlich nur haarsträubende numerische Ansätze beinhalten wird, bei denen von Zeit zu Zeit Daten von beobachteten Positionen der eingespeist werden Objekte. Nichts davon wird allgemein geschlossene Antworten haben.
Wenn Sie jedoch davon ausgehen, dass Sie ein wahrscheinlich numerisches Werkzeug haben, das Ihnen sagt, wo sich Satelliten befinden, dann ist es basierend darauf ziemlich einfach, relative Positionen zu berechnen. Was Sie wissen, ist sowohl, wo sich die Satelliten befinden, als auch das Koordinatensystem, in dem diese Informationen ausgedrückt werden. Sie müssen also in der Lage sein, die Koordinaten in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem zu ändern, das auf einem der Satelliten basiert, in dem die Positionsvektoren einfach sind sind die Koordinaten des anderen Satelliten.
Stiller Geist