Hilfe bei meiner Spannkraft; Wie kann man dieses Starrkörper-Schwerkraftgradientendrehmoment ableiten und berechnen?

Question

Hilfe bei meiner Spannkraft; Wie kann man dieses Starrkörper-Schwerkraftgradientendrehmoment ableiten und berechnen?

Kosmos
Physik
Mathematik
Orbital-Mechanik
Einstellung-Bestimmung-und-Kontrolle

äh

Tensoren machen mich angespannt.

Stellen Sie sich einen langen, dünnen Stab in einer kreisförmigen Umlaufbahn vor. Der Schwerkraftgradient erzeugt ein Nettodrehmoment an der Stange, wenn sie nicht parallel oder senkrecht zum Radiusvektor ausgerichtet ist (nach oben/unten oder nach vorne/hinten zeigend). Lassen Sie uns das Problem in 2D halten und Ausrichtungen außerhalb der Ebene ignorieren.

Das Coursera-Video 1: Gravity Gradient Torque Development aus dem Kurs der University of Colorado Boulder Kinetics: Studying Spacecraft Motion, unterrichtet von Hanspeter Schaub, enthält Folgendes:

L_{G} = \frac{3 G M_{E}}{R_{C}^{5}} R_{C} \times [ICH] R_{C},

$L_G = \frac{3 GM_E}{R_C^5} \mathbf{R_C} \times [I] \mathbf{R_C},$

die von einer Erweiterung erster Ordnung des lokalen Gravitationsgradienten herrührt.

Er erklärt, dass Sie an diesem Punkt (ungefähr 16:30) innehalten und über Koordinatensysteme und Rahmen nachdenken müssen, und dann habe ich das Gefühl, dass dieser Typ zuerst Ihre Lautstärke verringert!

Für einen unendlich dünnen Stab in 2D vermute ich, dass der Trägheitstensor gerade ist

ICH = [\begin{matrix} \frac{1}{12} M l^{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12}ml^2 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}.$

Was jetzt? Ich muss ein bekommen $\sin(2\theta)$ irgendwie so, dass das Drehmoment sowohl bei 0 als auch bei 90 Grad Null ist. Welche Art von tensormagischer Multiplikation kann mich dorthin bringen?

SMAD Erstausgabe gibt:

\frac{3 μ}{R_{0}^{3}} u_{e} \times (ICH \cdot u_{e})

$\frac{3 \mu}{R_0^3} \mathbf{u_e} \times (\mathbf{I} \cdot \mathbf{u_e})$

Wo $\mathbf{u_e}$ ist der Einheitsvektor zum Nadir. Es scheint im Wesentlichen dasselbe zu sein, aber mit der magischen Spannung erzeugenden Tensormathematik, die etwas anders geschrieben ist. Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ergibt einen Skalar, aber hier weiß ich nicht, was ich tun soll.

In jedem Fall $\mathbf{R_C}$ oder $\mathbf{R_0}$ sind vom Erdmittelpunkt zum Massenmittelpunkt des Stabes.

Frage: Wie würde ich diesen Ausdruck für das Drehmoment in Bezug auf einen Winkel ableiten? $\theta$ dass die Stange in Bezug auf den Nadir macht, so dass das Drehmoment a hat $\sin(2\theta)$ Begriff, mit meinem einfachen 2D-Trägheitsmoment?

Bitte keine kleinen Winkelannäherungen!

Bildschirmfoto

SMAD Erstausgabe

äh

eventuell hilfreich? Ich sehe ein

\sin (2 θ)

$\sin(2\theta)$ in Gl. A.16 hier , aber mir ist die Puste ausgegangen...

äh

@Paul Es ist von der Intuition. Ich weiß, dass es wegen der Symmetrie da sein muss.

Paul

Tipp: Erinnern Sie sich daran

s i n (2 θ) = 2 s i n (θ) c o s (θ)

$sin(2\theta)=2sin(\theta)cos(\theta)$ . Alles andere sollte direkt aus diesem verlinkten Anhang hervorgehen.

äh

@Paul Ich möchte die Punkte verbinden. Im Moment verstehe ich nicht, wie man die Multiplikation des Tensors mit dem Vektor rechts davon schreibt, einen neuen Vektor erhält und dann bei Trigonometrie endet. So etwas habe ich seit mehreren Jahrzehnten nicht mehr gemacht.

Paul

Das Multiplizieren eines Tensors vom Rang 2 mit einem Vektor unterscheidet sich nicht vom Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor. Die trigonometrischen Terme stammen von den Euler-Rotationen in der Formel für das Drehmoment. Denken Sie daran: Haltung ist alles!

Paul

Aus welchem Buch stammt dieser Anhang? Es gibt etwas, das an ihrer Definition von einfach nicht ganz richtig aussieht

R

$R$ .

Paul

Lassen Sie uns diese Diskussion im Chat fortsetzen .

Antworten (1)

Hilfe bei meiner Spannkraft; Wie kann man dieses Starrkörper-Schwerkraftgradientendrehmoment ableiten und berechnen?

eventuell hilfreich? Ich sehe ein $\sin(2\theta)$ in Gl. A.16 hier , aber mir ist die Puste ausgegangen...
@Paul Es ist von der Intuition. Ich weiß, dass es wegen der Symmetrie da sein muss.
Tipp: Erinnern Sie sich daran $sin(2\theta)=2sin(\theta)cos(\theta)$ . Alles andere sollte direkt aus diesem verlinkten Anhang hervorgehen.
@Paul Ich möchte die Punkte verbinden. Im Moment verstehe ich nicht, wie man die Multiplikation des Tensors mit dem Vektor rechts davon schreibt, einen neuen Vektor erhält und dann bei Trigonometrie endet. So etwas habe ich seit mehreren Jahrzehnten nicht mehr gemacht.
Das Multiplizieren eines Tensors vom Rang 2 mit einem Vektor unterscheidet sich nicht vom Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor. Die trigonometrischen Terme stammen von den Euler-Rotationen in der Formel für das Drehmoment. Denken Sie daran: Haltung ist alles!
Aus welchem Buch stammt dieser Anhang? Es gibt etwas, das an ihrer Definition von einfach nicht ganz richtig aussieht $R$ .

Litho · Answer 1

Lassen $\theta$ sei der Winkel zwischen der Richtung des Stabes und der Richtung zur Erde, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. Dann in das Koordinatensystem, das Sie früher geschrieben haben $I$ als

[\begin{matrix} \frac{1}{12} M l^{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} \frac{1}{12}ml^2 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix},$

R_{C}

$\mathbf{R_C}$ hat die Form

(\begin{matrix} R_{C} \cos θ \\ R_{C} Sünde θ \end{matrix}) .

$\left(\begin{array}{c} R_C\cos\theta \\ R_C\sin\theta\end{array}\right).$ Dann

I R_{C}

$I\mathbf{R_C}$ erhält man durch Matrizenmultiplikation:

ICH R_{C} = (\begin{matrix} \frac{1}{12} M l^{2} R_{C} \cos θ \\ 0 \end{matrix}),

$I\mathbf{R_C} = \left(\begin{array}{c} \frac{1}{12}ml^2R_C\cos\theta \\ 0\end{array}\right),$ und das Kreuzprodukt ist

R_{C} \times ICH R_{C} = - R_{C} Sünde θ \cdot \frac{1}{12} M l^{2} R_{C} \cos θ = - \frac{1}{24} M l^{2} R_{C}^{2} Sünde 2 θ .

$\mathbf{R_C}\times I\mathbf{R_C} = - R_C\sin\theta\cdot \frac{1}{12}ml^2R_C\cos\theta = -\frac{1}{24}ml^2R_C^2\sin 2\theta.$ (Genau genommen ist das Kreuzprodukt ein dreidimensionaler Vektor, aber wenn wir uns auf eine Ebene beschränken, dann steht dieser Vektor immer senkrecht auf dieser Ebene, wir können ihn also als Skalar betrachten.)

Und das Endergebnis ist

L_{G} = - \frac{G M_{E} M l^{2}}{8 R_{C}^{3}} Sünde 2 θ .

$L_G = -\frac{GM_Eml^2}{8R_C^3}\sin 2\theta.$

Das ist ausgezeichnet! Wahrscheinlich habe ich mir selbst in den Fuß geschossen, indem ich versucht habe, ein 3D-Problem in 2D zu zwingen, anstatt nur ein paar Nullen zu lassen. Vielen Dank!
Kann es wirklich sein, dass die momentane Winkelbeschleunigung für den dünnen Stab unabhängig von der Länge (in erster Ordnung) und gerecht ist? $\ddot{\theta} = \dot{\omega} = -(3GM_E/2R_C^3)\sin(2\theta)$ ? Das Maximum liegt bei etwa 0,4 Grad/Minute^2 bei 45 Grad; Das ist ziemlich toll!
@uhoh Gern geschehen. Und ja, deine Formel sieht richtig aus.

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Paul

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Litho

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