Sind Sonnensegelspiralen logarithmisch? Kann dies analytisch oder allein durch Dimensionsanalyse gezeigt werden?

Hier gibt es mehrere Fragen und Antworten zur Spiralbewegung auf die Sonne zu oder von ihr weg mit Hilfe von Sonnensegeln, die um etwa 45 Grad geneigt sind, um den einfallenden Radialimpuls des Sonnenlichts in tangentialen Schub umzuwandeln.

Es ist die Rede davon, dass diese Spiralen abhängig von den spezifischen Annahmen logarithmischen Spiralen nahe kommen könnten .

Frage:

  1. Sind Sonnensegelspiralen von Natur aus logarithmisch oder zumindest nahe daran?
  2. Kann man das analytisch zeigen?
  3. Kann dies allein durch Dimensionsanalyse gezeigt werden?

Antworten (1)

Die Antwort muss „nicht unbedingt“ lauten, denn im Allgemeinen können Sie den Winkel des Sonnensegels und damit die Flugbahn im Laufe der Zeit frei anpassen. Außerdem muss die Trajektorie nicht in einer einzigen Ebene liegen, da das Segel Kräfte außerhalb der Ebene erzeugen kann. Ich habe gestern in den Kommentaren

eine Analyse für ein schwaches Sonnensegel und eine flache spiralförmige Umlaufbahn gepostet und bin zu dem Schluss gekommen, dass die Umlaufbahn eine logarithmische Spirale war. Aber ich denke, die Analyse erstreckt sich, egal wie steil die Spirale ist. Ein erster zu beachtender Punkt ist, dass sowohl die Gravitationskraft als auch die Sonnenwindkraft zerfallen

1 / R 2 und somit unabhängig vom radialen Abstand das gleiche Verhältnis beibehalten. Wenn wir davon ausgehen, dass das Segel in Bezug auf die radiale Richtung in einem festen Winkel eingestellt ist, dann ist nicht nur das Verhältnis der beiden Kräfte konstant, sondern ihre jeweiligen Richtungen sind auch unabhängig vom Radius. Dies deutet bereits auf einen konstanten Winkel oder eine logarithmische Spirale hin. Eine logarithmische Spirale ist „selbstähnlich“ und sieht bei jeder Radiusskala gleich aus. R , dh seine Merkmale skalieren mit R .

Bleibt nur noch die Frage, ob die Kräfte (also Beschleunigung, A ) und Geschwindigkeit, v , ändern sich zusammen in einer entsprechenden Weise, wenn sich der Radius ändert. Die Quantität v 2 / A hat Entfernungseinheiten und muss daher auch so skalieren R . Seit A Waage als 1 / R 2 , es folgt dem v Waage als 1 / ( R ) . Der Krümmungsradius der Kurve ist gegeben durch das Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch die senkrechte Komponente der Beschleunigung. Daraus folgt, dass der Krümmungsradius proportional zu r ist, was die logarithmische Spirale weiter bestätigt.

Nachdem wir festgestellt haben, dass es exponentielle Spiralbahnen gibt, sollten wir beachten, dass sie durch einen einzigen Parameter definiert sind. In diesem Sinne ähneln sie Kreisbahnen. Sie sind insofern ein Sonderfall, als man vermutlich mit genau der richtigen Geschwindigkeit an der richtigen Stelle starten muss, um auf einer gewünschten Spirale weiterzumachen. Willkürliche Startbedingungen ergeben im Allgemeinen keine logarithmische spiralförmige Umlaufbahn, genauso wenig wie sie eine exakt kreisförmige Umlaufbahn ergeben könnten.

Ja, das ist interessant! Für einen gegebenen zentralen Körper und eine gegebene Ebene gibt es also eine unendliche Anzahl von Kreisbahnlösungen, die sich durch Radius (oder Geschwindigkeit oder Energie) und eine gewisse absolute Phase in Bezug auf unterscheiden T = 0 . Ich frage mich, ob es für denselben zentralen Körper und dieselbe Ebene und für ein Sonnensegel mit fester Ausrichtung zum Ursprung eine ebenso unendliche Anzahl logarithmischer Spiralen gibt, die sich durch eine wahre Anomalie bei 1 AE und derselben absoluten Phase auszeichnen. (mit anderen Worten, wo geht dieses Kaninchenloch hin? )
@uhoh Ich bin jetzt etwas verwirrt. Für eine kreisförmige Umlaufbahn im Uhrzeigersinn in einer bestimmten Ebene reicht es aus, ihre 2D-Position zu einem bestimmten Zeitpunkt anzugeben. Für eine logarithmische Spirale im Uhrzeigersinn scheint es notwendig, sowohl die 2D-Position als auch die Krümmung der Spirale anzugeben. Vielleicht ist die Äquivalenz die Spirale, bei der das Segel so eingestellt ist, dass es am schnellsten Orbitalenergie verliert. Das würde einen Freiheitsgrad wegnehmen.
Hmm ... vielleicht ist "für denselben zentralen Körper und dieselbe Ebene und für ein Sonnensegel mit fester Einstellung zum Ursprung" unvollständig, da es "und ein bestimmtes Verhältnis von Fläche / Masse" fehlt; würde das gehen? Ich reagiere schnell, ohne sorgfältig nachzudenken. Mit abnehmendem Flächen-Masse-Verhältnis wird die Spirale dichter und nähert sich sozusagen einem Kreis.
@uhoh Ja, das habe ich übersehen. Die Krümmung (Festigkeit der Spirale) hängt von der Fläche/Masse sowie davon ab, in welche Richtung das Segel zeigt.
Sind Sonnensegelspiralen logarithmisch? Kann dies analytisch oder allein durch Dimensionsanalyse gezeigt werden?
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