Was ist die funktionale Form für r(t) für einen Sonnensegel-Deorbit in die Sonne?

Diese Antwort geht davon aus, dass das Raumschiff die ganze Zeit in einer fast kreisförmigen Umlaufbahn bleibt. Wir haben

$$\frac{dE}{dt} = F_\tau v,$$ wo $E$ist die Energie des Raumfahrzeugs (Potential + Kinetik), $v$ist seine Geschwindigkeit, und $F_\tau$ist die Tangentialkomponente der Sonnendruckkraft. Für eine kreisförmige Umlaufbahn gilt $E\propto -\frac1r$(so $\frac{dE}{dt}\propto \frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt}$) und $v\propto\frac{1}{\sqrt{r}}$. Solange der Winkel zwischen dem Segel und der Richtung zur Sonne konstant bleibt (ob optimal oder nicht), $F_\tau\propto -\frac{1}{r^2}$. Also haben wir $$\frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt} \propto -\frac{1}{r^{5/2}},$$ oder $$\frac{dr}{dt} \propto - \frac{1}{\sqrt{r}}.$$

Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung hat die Form

$$r(t) \propto (T - t)^{2/3},$$ wo $T$(die größer ist als die Startzeit) wird durch die Startbedingungen und den Proportionalitätskoeffizienten in der Gleichung bestimmt.

Sieht so aus, als hätte die Antwort von @Litho es geschafft !

$$r(t) \propto (T - t)^{2/3}$$

Ich habe eine schnelle Simulation basierend auf den Spezifikationen von LightSail 2 der Planetary Society von 5 kg und 32 m^2 Segelfläche durchgeführt. Ich habe es in einem Reflektorwinkel von 45° befestigt, so dass der Druck des Sonnenlichts eine radiale Kraft nach außen (Impuls des einfallenden Lichts) plus eine tangentiale Kraft prograde (Impuls des reflektierten Lichts) ergibt.

Die Beschleunigung aufgrund des Lichtimpulses, der auf eine Oberfläche auftrifft oder diese verlässt, ist gerecht

$$\frac{AI}{mc} = \frac{AI_0}{mc} \left(\frac{\text{1 AU}}{r}\right)^2$$

wo$I_0$ist die Solarkonstante (Intensität bei 1 AE) von etwa 1361 W/m^2. Weitere Informationen zum Sonnendruck und zur Beschleunigung durch Sonnensegel finden Sie in dieser Antwort . Denken Sie daran, die Fläche des Segels durch zu teilen$\sqrt{2}$um die projizierte Fläche bei 45° zu erhalten.

Ich begann in einer kreisförmigen Umlaufbahn bei 1 AE und integrierte 15,35 Jahre lang.

Es stellt sich heraus, dass$T$ist die Ankunftszeit, also vergleiche ich im ersten Diagramm nur$r$, die Entfernung zur Sonne in der Simulation, zum einfachen Ausdruck:

$$\text{1 AU} \left(1 - \frac{t}{T}\right)^{2/3}$$

und voilà eine perfekte Passform! Das Wackeln kommt daher, dass ich mit einer heliozentrischen Kreisbahn von 1 AE und einer Geschwindigkeit von gestartet habe$\sqrt{GM_{Sun}/1 AU} =$29783 m / s mit den Sonnendruckeffekten bei voller Stärke (Verlangsamung, leichte nach außen gerichtete Kraft, die die Schwerkraft verringert, und daher ist die Umlaufbahn sehr leicht elliptisch.

Radialbeschleunigungen aufgrund der Schwerkraft der Sonne und des einfallenden Strahlungsdrucks sind gegeben durch:

$$-\frac{GM}{r^2} \ \ \text{and} \ \ +\frac{AI_0}{\sqrt{2}mc} \frac{\text{1 AU}^2}{r^2}$$

Numerisch bei 1 AU sind sie 5,930E-03 bzw. 2,053E-05 m/s^2, und weil beide als skalieren$1/r^2$das Verhältnis der beiden ist fest und entfernungsunabhängig. In diesem Fall beträgt das Verhältnis etwa 289:1.

def deriv (X, t):

    r,  v  = X.reshape(2, -1)
    nr, nv = [thing / np.sqrt((thing**2).sum()) for thing in (r, v)] # normals
    rsqAU  = (r**2).sum() / AUsq

    acc_g     = -GMs * r * ((r**2).sum())**-1.5
    acc_solar = (Area/np.sqrt(2.) * I_zero / (m * c) / rsqAU) * (nr - nv) # radially out, and prograde

    return np.hstack((v, acc_g + acc_solar))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
degs, rads        = 180/pi, pi/180

AU     = 1.495978707E+11       # m
AUsq   = AU**2                 # m^2

GMs  = 1.327E+20               # m^3/s^2

km   = 1000.                   # meters
year = 365.2564 * 24. * 3600.  # seconds

# http://www.planetary.org/explore/projects/lightsail-solar-sailing/lightsail-faqs.html
m      = 5.                    # kg
c      = 3E+08                 # m/s
I_zero = 1361.                 # 1361 W/m^2 (at 1 AU)
Area   = 32.                   # m^2

time = np.arange(0, 15.35*year, 1E+05)  # seconds

v0    = np.sqrt(GMs/AU)

X0    = np.array([AU, 0, 0, v0])

print "X0: ", X0

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, rtol=1E-10, full_output=True)

print answer.shape

x, v = answer.T.reshape(2, 2, -1)
r    = np.sqrt((x**2).sum(axis=0))
x, y = x

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.plot(x/km, y/km)
    plt.title('heliocentric de-orbit (km)')
    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.plot(time/year, x/km)
    plt.plot(time/year, y/km)
    plt.plot(time/year, r/km, '-r', linewidth=2)
    plt.title('x, y and r (km) vs time (years)')
    plt.show()

if True:
    T0 = time.max()
    plt.figure()
    plt.plot(time/year, r/km)
    plt.plot(time/year, AU*(1-time/T0)**(2./3)/km)
    plt.title('r and  AU(1-t/15.35)^(2/3) (km) vs time (years)')
    plt.show()