Wie man beweist: (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) durch natürlichen Abzug

Es hilft nicht, Ihren Beweis mit der Aussage zu beginnen , die Sie zu beweisen versuchen . Tatsächlich sollte (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) die letzte Zeile Ihres Beweises sein, nicht die erste . Ihr gesamter Aufbau für den Beweis ist also nicht gut.

In seinem Buch legt Tomassi dar, was er die „goldene Regel“ nennt:

Fragen Sie: (i) ist die Schlussfolgerung eine Bedingung? Wenn dies der Fall ist, wenden Sie CP an. Wenn nicht, fragen Sie: (ii) sind einige oder alle Prämissen Disjunktionen? Wenn ja, wenden Sie vE an. Wenn nicht, nehmen Sie die Negation der gewünschten Schlussfolgerung an und versuchen Sie es mit der RAA-Strategie.

Wenn Sie die goldene Regel auf Ihr Problem anwenden, werden Sie feststellen, dass Sie bei der letzten Strategie landen: Verneinen Sie die gewünschte Schlussfolgerung und versuchen Sie es mit der RRA-Strategie. Also, es wird in etwa so aussehen:

{1} 1. ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) Annahme für RAA

...

{1} n. [etwas Widerspruch]

{}n+1. ~~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,n RAA

{}n+2. (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) n+1 DNE

Beachten Sie in der Tat, wie sowohl Elirans als auch Franks Beweis so aussehen ... außer dass keiner in Tomassis Format vorliegt. So machen Sie den Rest in Tomassis Format:

{1} 1. ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) Annahme für RAA

{2} 2. Q Annahme für RAA

{3} 3. P Annahme

{2,3} 4. P&Q 2,3 &I

{2,3} 5. Q 4 &I (hier nochmal der Augmentationstrick, s. S. 53-54)

{2} 6. P → Q 3,5 LP

{2} 7. ( P → Q ) ∨ ( Q → R ) 6 ∨ I

{1,2} 8. (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) & ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,7 &I

{1} 9. ~Q RAA 2,8

{10} 10. ~R Annahme für RAA

{2,10} 11. F & ~R 2,10 &I

{2,10} 12. Q 11 &E (Wieder Augmentationstrick!)

{1,2,10} 13. F & ~F 9,12 &I

{1,2} 14. ~~R 10,13 RAA

{1,2} 15. R 14 DNE

{1} 16. Q → R 2,15 CP

{1} 17. ( P → Q ) ∨ ( Q → R ) 16 ∨ I

{1} 18. (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) & ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,17 &I

{} 19. ~~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,18 RAA

{} 20. (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 19 DNE

Da das Argument keine Prämissen hat, müssen wir mit einer Annahme beginnen, entweder für die Reduktion oder für den bedingten Beweis. In diesem Fall würde der bedingte Beweis nicht funktionieren, also müssen wir mit der Reduktion fortfahren. Also fangen wir an mit:

1. | ~((P→Q)∨(Q→R))        assumption

Da wir reductio anstreben, müssen wir einen Widerspruch ableiten. Da wir nur diese Annahme haben, wird unser Widerspruch mit ihrer Negation sein. Also müssen wir generieren (P→Q)∨(Q→R). Wie? Indem man einen der Disjunkte erzeugt. Fügen Sie also eine weitere Annahme für eine weitere Reduktion hinzu.

2. || ~(P→Q)               assumption

Daraus einen Widerspruch zu ziehen ist etwas kompliziert, aber so läuft der Beweis ab. Hier ist der vollständige Beweis:

 1. | ~((P→Q)∨(Q→R))                assumption (for reductio)
 2. || ~(P→Q)                       assumption (for reductio)
 3. ||| Q                           assumption (for reductio)
 4. |||| P                          assumption (for conditional)
 5. |||| Q                          3
 6. ||| P→Q                         4-5 (conditional)
 7. ||| (P→Q)&~(P→Q)                6,2 (&-intro)
 7. || ~Q                           3-7 (reductio)
 8. ||| Q                           assumption (for conditional)
 9. |||| ~R                         assumption (for reductio)
10. |||| Q&~Q                       7,8 (&-intro)
11. ||| R                           9-10 (reductio)
12. || Q→R                          8-11 (conditional)
13. || (Q→R)∨(P→Q)                  12 (∨-intro)
14. || ((Q→R)∨(P→Q))&~((Q→R)∨(P→Q)) 13,1 (&-intro)
15. | P>Q                           2-14 (reductio)
16. | (P→Q)∨(Q→R)                   15 (∨-intro)
17. | ((P→Q)∨(Q→R))&~((P→Q)∨(Q→R))  16,1 (&-intro)
18. (P→Q)∨(Q→R)                     1-17 (reductio)

Hier ist ein ähnlicher Beweis wie bei Eliran. Es verwendet Wiederholung (Zeile 4) und indirekten Beweis (Zeile 12 und 16), die meiner Meinung nach vor dieser Übung in Tomassis Text (Seite 106) nicht eingeführt wurden. Ich präsentiere es in Klements Beweisprüfer, um zu zeigen, dass ein solcher Beweis mit anderen Regeln funktionieren würde, aber wir müssen die erlaubten Regeln verwenden.

Tomassi zeigt auf den Seiten 63-4, wie man Wiederholungen vermeidet, indem man zuerst die Einführung der Konjunktion und dann die Eliminierung der Konjunktion verwendet. Dieser nächste Beweis ersetzt die Wiederholung (Zeile 4 und 5) und den indirekten Beweis durch Widerspruchseinführung und doppelte Negationsbeseitigung (Zeile 13-14 und 18-19), was einer ad absurdum geführten Reduction entsprechen würde.

Dies erfordert einen Schritt weniger als Tomassi benötigt, aber ich denke, es folgt nur den Regeln, die Sie verwenden dürfen. Die endgültige Formatierung des Proofs überlasse ich Ihnen.

Verweise

Kevin Klements JavaScript/PHP-Beweiseditor und -prüfer im Fitch-Stil für natürliche Deduktion http://proofs.openlogicproject.org/

PD Magnus, Tim Button mit Ergänzungen von J. Robert Loftis, remixt und überarbeitet von Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forallx Calgary Remix: An Introduction to Formal Logic, Winter 2018. http://forallx.openlogicproject.org/

Paul Tomassi, Logik, Routledge 1999

Das ist meine bisherige Antwort:

{1} 1. (P -> Q) v (Q -> R) Annahme

{2} 2. P -> Q Ass für vE

{3} 3. P Ass für CP

{4} 4. ~Q Ass für RAA

{2,4} 5. ~P 2,4 MT

{2,3,4} 6. P & ~P 3, 5 &I

{2,3} 7. ~~Q 4, 6 RAA

{2,3} 8. F 7 DNE

{2} 9. P -> Q 3, 8 CP

{2} 10. (P -> Q) v (Q -> R) 9 vI

{11} 11. Q -> R Ass für vE

{12} 12. Q Ass für CP

{13} 13. ~R Ass für RAA

{11,13} 14. ~Q 11, 13 MT

{11,12,13} 15. Fragen & ~Fragen 12, 14 &I

{11,12} 16. ~~R 13, 15 RAA

{11,12} 17. R 16 DNE

{11} 18. Q -> R 12, 17 CP

{11} 19. (P -> Q) v (Q -> R) 18 vi

{1} 20. (P -> Q) v (Q -> R) 1, 2, 10, 11, 19 vE

Ich weiß nicht, wie ich die Annahme 1 entkräften soll.

Irgendwelche Hilfe bitte?