Wie rechtfertigt man den Maximalwert des Magnetfelds eines Sterns an der Oberfläche?

Question

Wie rechtfertigt man den Maximalwert des Magnetfelds eines Sterns an der Oberfläche?

Cham

In vielen Vorträgen wird angegeben, dass der Maximalwert $B_{\text{max}}$ des Magnetfelds an der Oberfläche eines Sterns findet man in Newtons Gravitationstheorie, indem man die potenzielle Energie der Gravitation mit der Energie des Magnetfelds gleichsetzt. Für eine Massekugel $M$ und Radius $R$ , von gleichmäßiger Dichte und gleichmäßig magnetisiert :

\begin{matrix} (1) & | U_{grav} | = \frac{3 G M^{2}}{5 R} = E_{magn} = \frac{μ_{0} μ^{2}}{4 π R^{3}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} |\, U_{\text{grav}}| = \frac{3 G M^2}{5 R} = E_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}, \end{equation}$ Wo

μ

$\mu$ ist das dipolare magnetische Moment der Kugel. Der rechte Teil ist die gesamte im Magnetfeld eines Dipols gespeicherte Energie:

\begin{aligned} E_{magn} = \int \frac{B^{2}}{2 μ_{0}} D^{3} X & = \int_{0}^{R} \frac{B_{int}^{2}}{2 μ_{0}} 4 π R^{2} D R + \int_{R}^{\infty} \frac{B_{ext}^{2} (R, θ)}{2 μ_{0}} R^{2} D R Sünde θ D θ D φ \\ (2) & = \frac{μ_{0} μ^{2}}{4 π R^{3}} . \end{aligned}

$\begin{align} E_{\text{magn}} = \int \frac{B^2}{2 \mu_0} \, d^3 x &= \int_0^R \frac{B_{\text{int}}^2}{2 \mu_0} \, 4 \pi r^2 \, dr + \int_R^{\infty} \frac{B_{\text{ext}}^2(r, \theta)}{2 \mu_0} \, r^2 \, dr \, \sin{\theta} \, d\theta \, d\varphi \\[12pt] &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \tag{2} \end{align}$ Da die Kugel in ihrem Volumen gleichmäßig magnetisiert ist, ist das innere Magnetfeld konstant:

\begin{matrix} (3) & B_{int} = \frac{2}{3} μ_{0} M = \frac{μ_{0} μ}{2 π R^{3}} \Rightarrow μ = \frac{2 π B_{int} R^{3}}{μ_{0}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} B_{\text{int}} = \frac{2}{3} \, \mu_0 \, M = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 \pi R^3} \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{2 \pi B_{\text{int}} \, R^3}{\mu_0}. \end{equation}$ Setzt man dieses magnetische Moment in Gl. (1) gibt die maximale Feldstärke innerhalb und an der Oberfläche der Kugel an:

\begin{matrix} (4) & B_{int max} = \sqrt{\frac{3 μ_{0} G}{5 π}} \frac{M}{R^{2}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} B_{\text{int max}} = \sqrt{\frac{3 \mu_0 \, G}{5 \pi}} \, \frac{M}{R^2}. \end{equation}$ Also für einen Massestern

M = 0.6 M_{⊙}

$M = 0.6 \, M_{\odot}$ und Radius

R = 10^{4} k m

$R = 10^4 \, \mathrm{km}$ (ein typischer weißer Zwerg), dies geben

B_{int max} \approx 5 \times 10^{7} T e S l A = 5 \times 10^{11} G A u S S .

$\begin{equation} B_{\text{int max}} \approx 5 \times 10^7 \, \mathrm{tesla} = 5 \times 10^{11} \, \mathrm{gauss}. \end{equation}$

Aber wie können wir Gleichung (1) rechtfertigen? Kann man es strenger machen? Warum sollten wir haben $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}} = 0$ für die maximale Feldstärke ?

BEARBEITEN: Im Fall eines kanonischen Neutronensterns mit Radius $R \approx 10 \, \mathrm{km}$ und Masse $M \approx 1,44 \, M_{\odot}$ , Gleichung (4) ergibt

\begin{matrix} (5) & B_{intmax NS} \approx 10^{14} T e S l A = 10^{18} G A u S S, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} B_{\text{int max NS}} \approx 10^{14} \, \mathrm{tesla} = 10^{18} \, \mathrm{gauss}, \end{equation}$ das ist ziemlich übertrieben (AFAIK). Die stärksten bekannten Magnetare haben höchstens eine Feldstärke von ca

10^{15} g a u s s

$10^{15} \, \mathrm{gauss}$ . Gibt es also einen theoretischen Weg, um den Wert (5) zu reduzieren?

ProfRob

Denn wenn die Gesamtenergie größer als Null wäre, wäre der Stern ungebunden!

Cham

@RobJeffries, die Energie

E_{magn} + U_{grav}

$E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ ist nicht die Gesamtenergie ! Es ist nur ein Teil davon. Es kann einen Gasdruck innerhalb des Sterns, einen entarteten Fermidruck oder sogar kinetische Rotationsenergie geben, die dazu beiträgt. Es erklärt also nicht warum

E_{magn} + U_{grav}

$E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ sollte stornieren.

Cham

Oder ist es das Worst-Case-Szenario, bei dem der Stern keine andere innere Energie hat als sein eigenes Magnetfeld, das das gesamte Gewicht trägt?

ProfRob

Ja, natürlich gibt es innere Energie und das ist positiv. Der Fall, den Sie dort haben, ist also das Maximum, das die Magnetfeldenergie haben könnte, und hat immer noch einen gebundenen Stern.

Cham

Im schlimmsten Fall die Gesamtenergie

E = \frac{μ_{0} μ^{2}}{4 π R^{3}} - \frac{3 G M^{2}}{5 R}

$\begin{equation}E = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3} - \frac{3 G M^2}{5 R}\end{equation}$ lässt einen Mindestwert bei etwas nicht-trivialem zu

R

$R$ (angesichts

μ

$\mu$ als Konstante für einen gegebenen Stern).

ehrliche_vivere

@Cham - Es gibt ein nettes Papier von Rudolf Treumann über die stärksten Magnetfelder im Universum (doi 10.3389/fphy.2014.00059 ), das einige gute Diskussionen enthält.

Antworten (1)

Wie rechtfertigt man den Maximalwert des Magnetfelds eines Sterns an der Oberfläche?

Denn wenn die Gesamtenergie größer als Null wäre, wäre der Stern ungebunden!
@RobJeffries, die Energie $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ ist nicht die Gesamtenergie ! Es ist nur ein Teil davon. Es kann einen Gasdruck innerhalb des Sterns, einen entarteten Fermidruck oder sogar kinetische Rotationsenergie geben, die dazu beiträgt. Es erklärt also nicht warum $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ sollte stornieren.
Oder ist es das Worst-Case-Szenario, bei dem der Stern keine andere innere Energie hat als sein eigenes Magnetfeld, das das gesamte Gewicht trägt?
Ja, natürlich gibt es innere Energie und das ist positiv. Der Fall, den Sie dort haben, ist also das Maximum, das die Magnetfeldenergie haben könnte, und hat immer noch einen gebundenen Stern.
Im schlimmsten Fall die Gesamtenergie $E = \frac{μ_{0} μ^{2}}{4 π R^{3}} - \frac{3 G M^{2}}{5 R}$ $\begin{equation}E = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3} - \frac{3 G M^2}{5 R}\end{equation}$ lässt einen Mindestwert bei etwas nicht-trivialem zu $R$ (angesichts $\mu$ als Konstante für einen gegebenen Stern).
@Cham - Es gibt ein nettes Papier von Rudolf Treumann über die stärksten Magnetfelder im Universum (doi 10.3389/fphy.2014.00059 ), das einige gute Diskussionen enthält.

ProfRob · Answer 1

ProfRob

Die Gesamtenergie eines Sterns muss kleiner als Null sein, damit er ein gravitativ gebundenes Objekt ist.

Die Gesamtenergie ist die Summe aus negativer Gravitationspotentialenergie (Ihr Ausdruck geht von einem Stern mit gleichmäßiger Dichte aus) und positiven Termen aufgrund von Gasdruck, Turbulenzen, Rotation und natürlich Magnetfeldern.

Die maximale magnetische Energie kann gefunden werden, indem man die Gesamtenergie mit null gleichsetzt und die anderen positiven Terme null macht. Wenn sie sind $>0$ (was sie in einem echten Stern sind), dann wird natürlich die größtmögliche magnetische Energie kleiner sein.

Sie müssen dann entscheiden, wie Sie das mit dem Magnetfeld und dem Dipolmoment in Beziehung setzen wollen, da die magnetische Energiedichte von der Gleichgewichtsgröße des Sterns abhängt, obwohl ich gedacht hätte, dass Sie dies tun sollten $B_{\rm int} R^2$ eine Konstante, weil der magnetische Fluss durch die Oberfläche erhalten bleibt, wenn sich die Größe ändert.

Cham

Ich stimme dem zu, aber die Gesamtenergie (Magnetfeld + Gravitationsenergie) lässt ein Minimum für einige nicht triviale zu

R

$R$ , Wenn

μ

$\mu$ wird als Konstante betrachtet. Dies ergibt einen spezifischen Wert für das Magnetfeld, der wie (4) ist, ohne den Faktor 3 in der Quadratwurzel.

ProfRob

@cham Ihre Frage fragt nach der Begründung eines Maximalwerts. Natürlich gibt es ein globales Minimum - das wird die Gleichgewichtskonfiguration für den Stern sein, wenn die Masse und das magnetische Dipolmoment fest sind, aber der Radius sich ändern kann. Dies gibt Ihnen den Radius eines Sterns, der (allein) von der magnetischen Energiedichte getragen wird.

Cham

Es gibt etwas, das ich nicht klar über die Variablen und die Konstanten verstehe . Ist

μ

$\mu$ eine Konstante, wenn der Radius

R

$R$ Änderungen ? Oder ist

B_{int} \propto μ / R^{3}

$B_{\text{int}} \propto \mu/R^3$ eine Konstante ? Oder was sonst?

ProfRob

@cham Ich weiß nicht - es ist deine Frage! Meine Antwort in Bezug auf Energieüberlegungen hängt nicht davon ab, was Sie als fest oder variabel betrachten. Es ist im Allgemeinen wahr, obwohl ich eine kleine Änderung vornehmen muss, um richtig zu sein.

Cham

Aha! Ihre Bearbeitung ist eigentlich ein entscheidender Punkt. Stimmen Sie dem also zu

B_{int max} = \sqrt{\frac{3 μ_{0} G}{5 π}} \frac{M}{R^{2}} ?

$\begin{equation}B_{\text{int max}} = \sqrt{\frac{3 \mu_0 \, G}{5 \pi}} \, \frac{M}{R^2} ? \end{equation}$ Was könnten wir dann darüber sagen

R

$R$ ? Ich glaube meine Verwirrung kommt von hier.

ProfRob

@cham Sie haben einen Wert für angenommen

R

$R$ , aber wenn Sie wirklich das maximale Magnetfeld wollten, müssten Sie selbstkonsistent lösen

M (R)

$M(R)$ anstatt einen Wert anzunehmen. Ich denke, Sie können sagen

B_{i n t} R^{2} \leq (3 μ_{0} G / 5 π)^{1 / 2} M

$B_{\rm int} R^2 \leq (3\mu_0G/5\pi)^{1/2}M$ .

Cham

Okay, ich glaube, ich habe es (sorry, wenn ich hier dicht bin). Wenn ich einen Stern mit DIESER Masse und DIESER Größe haben möchte (so

M

$M$ Und

R

$R$ sind einige feste Konstanten ), unterstützt nur durch ein dipolares Magnetfeld, dann brauche ich NICHTS MEHR als DAS

B_{int max} (M, R)

$B_{\text{int max}}(M, R)$ Feld im Stern. Dies ergibt das kritische Feld . Wenn

B_{int} < B_{int max} (M, R)

$B_{\text{int}} < B_{\text{int max}}(M, R)$ , dann wird die Schwerkraft den Stern zermalmen, bis er irgendwann einen Gleichgewichtswert erreicht

R_{0} < R

$R_0 < R$ . Das Endergebnis (

R_{0} \neq 0

$R_0 \ne 0$ oder

R_{0} = 0

$R_0 = 0$ ) hängt davon ab, welche Einschränkung ich meinem Stern auferlege:

μ

$\mu$ ist fest bzw

B_{int}

$B_{\text{int}}$ fest ist, oder etwas anderes.

ProfRob

Wenn man nur die Magnetfeldunterstützung betrachtet, kann der Stern nur unter- oder überkritisch sein. Das Verhältnis von magnetischem Fluss zu Masse ist eine Konstante jedes Kollapses und das B-Feld wird niemals ausreichend ansteigen, um den Stern bei einem kleineren Radius zu tragen. dh die potenzielle Energie der Gravitation und die magnetische Energie sind identisch

\propto R^{- 1}

$\propto R^{-1}$ Weil

B R^{2}

$BR^2$ ist eine Konstante.

Cham

Sie gehen von einer Erhaltung des magnetischen Flusses aus?

Wie rechtfertigt man den Maximalwert des Magnetfelds eines Sterns an der Oberfläche?

Cham

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ehrliche_vivere

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