Zählen von positiven ganzzahligen Lösungen zu x1+x2+x3=3nx1+x2+x3=3nx_1 + x_2 + x_3 = 3n

Question

Zählen von positiven ganzzahligen Lösungen zu x1+x2+x3=3nx1+x2+x3=3nx_1 + x_2 + x_3 = 3n

Mathematik
Kombinatorik
Algebra-Vorkalkül
Binomialkoeffizienten

Kaiser Konzert

Nehmen wir an, ich verwende Sterne und Balken, um die Anzahl der nichtnegativen ganzzahligen Lösungen zu zählen

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 3 N .

$x_1 + x_2 + x_3 = 3n.$ Ganz klar, das wird

(\binom{3 n + 2}{2})

$\binom{3n + 2}{2}$ . Und jetzt sagen wir, wir wollen die Anzahl der positiven ganzzahligen Lösungen derselben Gleichung zählen. Ich kann ohne Sterne und Balken rechnen, indem ich von subtrahiere

(\binom{3 n + 2}{2})

$\binom{3n + 2}{2}$ (1) die Anzahl der Lösungen, wenn eins

x_{i}

$x_i$ Null ist und (2) die Anzahl der Lösungen zwei ist

x_{i}

$x_i$ sind null. Wir haben

(\binom{3 N + 2}{2}) - 3 (3 N - 1) - 3 = (\binom{3 N - 1}{2}),

$\binom{3n+2}{2} - 3(3n-1) - 3 = \binom{3n-1}{2},$ das ist die richtige Antwort. Wenn ich jedoch versuche, Sterne und Balken auf die Lösung für die Anzahl der positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung anzuwenden

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 3 N,

$x_1 + x_2 + x_3 = 3n,$ ich füge hinzu

3

$3$ auf beiden Seiten die Tatsache zu berücksichtigen, dass jeder der drei

x_{i}

$x_i$ muss nun größer oder gleich sein

1

$1$ und nicht

0

$0$ , und so bekomme ich am Ende

(\binom{3 n + 5}{2})

$\binom{3n + 5}{2}$ , was eindeutig falsch ist.

Ich verstehe nicht, warum ich abziehen sollte $3$ von beiden Seiten

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 3 N

$x_1 + x_2 + x_3 = 3n$ Sterne-und-Balken für den Fall positiver ganzzahliger Lösungen durchzuführen, anstatt zu addieren

3

$3$ , um die richtige Antwort zu erhalten

(\binom{3 n - 1}{2})

$\binom{3n-1}{2}$ . Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Mathe-Liebhaber

Das ist, weil Sie für lösen

(x_{1} + 1) + (x_{2} + 1) + (x_{3} + 1) = 3 n

$(x_1 + 1) + (x_2 + 1) + (x_3 + 1) = 3n$ Wo

x_{1}, x_{2}, x_{3}

$x_1, x_2, x_3$ sind nicht negative ganze Zahlen.

harte Mathematik

Beachten Sie, dass

x

$x$ genau dann eine positive ganze Zahl ist

x - 1

$x-1$ ist eine nichtnegative ganze Zahl.

Antworten (2)

Zählen von positiven ganzzahligen Lösungen zu x1+x2+x3=3nx1+x2+x3=3nx_1 + x_2 + x_3 = 3n

Das ist, weil Sie für lösen $(x_1 + 1) + (x_2 + 1) + (x_3 + 1) = 3n$ Wo $x_1, x_2, x_3$ sind nicht negative ganze Zahlen.
Beachten Sie, dass $x$ genau dann eine positive ganze Zahl ist $x-1$ ist eine nichtnegative ganze Zahl.

Henry · Answer 1

Wenn Sie die Anzahl der positiven Lösungen finden möchten

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 3 N

$x_1 + x_2 + x_3 = 3n$ dann könntest du dies noch einmal formulieren, indem du lässt

y_{i} = x_{i} - 1

$y_i=x_i-1$ und Finden der Anzahl nicht-negativer Lösungen zu

(j_{1} + 1) + (j_{2} + 1) + (j_{3} + 1) = 3 N

$(y_1+1) + (y_2+1) + (y_3+1) = 3n$

Aber abziehen $3$ von jeder Seite ist dies die Anzahl der nicht negativen Lösungen

j_{1} + j_{2} + j_{3} = 3 N - 3

$y_1 + y_2 + y_3 = 3n-3$ was Sie bereits wissen, ist

(\binom{3 N - 3 + 2}{2}) = (\binom{3 N - 1}{2})

${3n-3+2 \choose 2} = {3n-1 \choose 2}$

David · Answer 2

Für positive ganze Zahlen modifizieren Sie einfach die Stern- und Balkentechnik ein wenig. ich schreibe $m$ anstatt $3n.$
Platzieren Sie ganz links einen Fixstern. $m-1$ Sterne bleiben.
Kleben Sie einen Stern auf die rechte Seite jedes Balkens. $m-3$ Sterne bleiben.
Wählen Sie nun die beiden modifizierten Balken aus $m-1$ Objekte.

Zählen von positiven ganzzahligen Lösungen zu x1+x2+x3=3nx1+x2+x3=3nx_1 + x_2 + x_3 = 3n

Kaiser Konzert

Mathe-Liebhaber

harte Mathematik

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Henry

David

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