Zeigen Sie, dass eine vollständig reelle, nicht-negative Kovarianzmatrix eine Präzisionsmatrix mit nicht-positiven nicht-diagonalen Elementen hat

Mir wurde in der Vorlesung gesagt, dass es sich um eine Präzisionsmatrix handelt J hat nicht-positive nicht-diagonale Elemente, dh ∀ ich ≠ J , J ich J ≤ 0 , dann die entsprechende Kovarianzmatrix J − 1 hat alle nicht negativen diagonalen Elemente, dh ∀ ich ≠ J , ( J − 1 ) ich J ≥ 0 . Ist das Gegenteil wahr? Wie kann ich das zeigen?

Weil J symmetrisch und PD ist und nicht positive nicht-diagonale Elemente hat, ist es eine M-Matrix. Die Umkehrung einer M-Matrix hat Elemente, die nicht negativ sind, aber ich bin mir nicht sicher, ob alle PD-Matrizen mit nicht negativen Elementen notwendigerweise M-Matrizen sind. Ich würde damit beginnen, in Horn und Johnsons Topics in Matrix Analysis nach relevanten Ergebnissen zu suchen.

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Die Antwort ist nein. Ein Gegenbeispiel ist:

A = [ 4 0 2 0 4 3 2 3 4 ]

mit

A − 1 = [ 0,5833 0,5000 − 0,6667 0,5000 1.0000 − 1.0000 − 0,6667 − 1.0000 1.3333 ] .

Dieses Gegenbeispiel findet sich in

Nabben, Reinhard und Richard S. Varga. "Ein linearer Algebra-Beweis, dass die Inverse einer streng ultrametrischen Matrix eine streng diagonal dominante Stieltjes-Matrix ist." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 15.1 (1994): 107-113. http://www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_205.pdf

Hallo Brian, ich denke, das zeigt, dass eine nicht positive Genauigkeit eine nicht negative Kovarianz ergibt, aber ich habe nach dem Gegenteil gefragt, dh ergibt eine nicht negative Kovarianz eine nicht positive Genauigkeit?
Das Papier sagt, dass diese Bedingungen „äquivalent“ sind, was im Allgemeinen „wenn und nur wenn“ bedeutet.
Hmmm. Ich habe mich näher damit befasst und denke, dass der richtige Begriff für eine nicht positive nicht-diagonale Genauigkeit eine Stieltjes-Matrix ( en.wikipedia.org/wiki/Stieltjes_matrix ) ist, und Wikipedia gibt an, dass jede quadratische Stieltjes-Matrix in eine nicht negative Symmetrie umkehrbar ist Matrix (also die Kovarianz), für die aber die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt N > 2
Ich habe die Antwort mit einem Gegenbeispiel und einer Referenz aktualisiert.
Herrlich. Vielen Dank, dass Sie für mich recherchiert haben!
Zeigen Sie, dass eine vollständig reelle, nicht-negative Kovarianzmatrix eine Präzisionsmatrix mit nicht-positiven nicht-diagonalen Elementen hat
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