Zwei Kondensatoren parallel schalten

Betrachten Sie diese Schaltung:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Ich weiß, dass Sie keinen Widerstand in der Schaltung angegeben haben. Sein Zweck wird später klar.

Sagen wir das erstmal$V_{C1} = 1V$Und$V_{C2} = 0V$. Die Ladung in C1 ist:

$$Q_{C1} = CV = 1F \cdot 1V = 1C$$

Die Gesamtenergie im Stromkreis ist die gleiche wie die Energie in C1, da an anderer Stelle im Stromkreis keine andere gespeicherte Energie vorhanden ist:

$$E_{C1} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(1C)^2}{2F} = 0.5J$$

Wenn der Schalter geschlossen ist, fließt etwas Strom. Die Gesamtladung im Stromkreis muss gleich bleiben, und wir können sehen, dass die Spannung an den Kondensatoren gleich sein muss, sobald der Stromkreis das Gleichgewicht erreicht hat.

$$Q_{C1} = Q_{C2} = 0.5C$$

$$V_{C1} = V_{C2} = \frac{Q}{C} = \frac{0.5C}{1F} = 0.5V$$

Die Energie in den Kondensatoren ist:

$$E_{C1} = E_{C2} = \frac{(0.5C)^2}{2F} = 0.125J$$

Wir haben zwei dieser Kondensatoren, also ist die Gesamtenergie doppelt so hoch, 0,25 J. Anfangs hatten wir 0,5 J. Wo haben wir die halbe Energie verloren?

Bedenken Sie, dass in dem Moment, in dem der Schalter geschlossen wurde, 1 V an R anliegt. Der Strom beträgt also 1 V/R. Die Macht ist also:

$$P = EI = 1V \cdot \frac{1V}{R} = \frac{(1V)^2}{R}$$

Wenn Sie R verringern, steigt die Leistung und nähert sich unendlich:

$$\lim_{R \searrow 0} \frac{(1V)^2}{R} = \infty$$

Somit ging die verlorene Energie als Wärme in R verloren. Die verlorene Energie ist für jeden Wert von R gleich. R kann nicht gleich 0 Ω gemacht werden, ohne zu einer unendlichen Leistung zu führen, was unmöglich ist.

Aus diesem Grund können Ladungspumpen übrigens nicht zu 100 % effizient sein .

Das Problem hierbei ist, dass das Verbinden von zwei Kondensatoren mit unterschiedlichen Ladungen zu einer unendlichen Strommenge führt, und dies ist das grundlegende Problem bei der Analyse der Schaltung. Wenn Sie einen kleinen Widerstand eingeführt haben (nennen Sie ihn den Kontaktwiderstand des Schalters), können Sie eine Formel ableiten, die die endgültige Spannung über den Kondensatoren vorhersagt.

Im Widerstand geht jedoch Energie verloren, sodass Sie anhand der Formel davon ausgehen können, dass R immer kleiner und kleiner wird, und bei jeder Verringerung von R werden Sie feststellen, dass der Anfangsstrom immer größer und größer wird, und Sie sollten dies bemerken können$i^2$Der Rt-Verlust wird nicht wirklich kleiner – er nähert sich einem konstanten Wert und je kleiner R wird, desto gleicher Energieverlust bleibt. Dies gibt den endgültigen Energieverlust an.

Bitte bedenken Sie, dass Sie die beiden Kondensatoren nicht zusammen kurzschließen können, und hoffen Sie, vernünftige Ergebnisse zu erzielen, indem Sie einfach davon ausgehen, dass die in jedem Kondensator gespeicherten Anfangsenergien der Endenergie entsprechen, sobald sie parallel sind. Das passiert nicht in der realen Welt und es wird auch nicht in der theoretischen Welt passieren.

Was vergessen wurde, ist, dass mit abnehmendem Widerstand R die Wirkung der Induktivität L des Stromkreises an Bedeutung gewinnt - Sie haben eine Drahtschleife.
Sie haben also tatsächlich eine Reihen-LCR-Schaltung mit der Bedingung für kritische Dämpfung

$$R^2 = \dfrac{4L}{C}$$

Wenn Sie Ihre Analyse einer CR-Schaltung durchführen, analysieren Sie tatsächlich eine LCR-Schaltung, jedoch unter der Annahme, dass der Widerstand der Schaltung viel größer ist als der für die kritische Dämpfung und die Schaltung daher überdämpft ist und Sie schöne Exponentialkurven erhalten.

Wenn der Widerstand sehr niedrig ist, ist die Schaltung zu wenig gedämpft und die Ladungen/Ströme/Spannungen unterliegen einer gedämpften einfachen harmonischen Bewegung.
Unter solchen Bedingungen senden die beschleunigenden Ladungen, weil sie ungebunden sind (freie Elektronen in einem Leiter), elektromagnetische Strahlung aus, die die Grundlage eines Funksenders ist.

Ein Teil der im Stromkreis dissipierten Energie endet also als Wärme (ohmsche Erwärmung) und ein Teil als elektromagnetische Strahlung, und zu keinem Zeitpunkt wird die dissipierte Leistung unendlich.