Newtons Gravitationsgesetz im De-Sitter-Raum

Deine Kraft stimmt, das ist auch der Ausdruck für$\ddot{r}$in der realen Schwarzschild-De-Sitter -Metrik, wenn Sie die ersten echten zeitlichen Ableitungen der räumlichen Koordinaten auf Null setzen:

Die geodätische Gleichung ergibt die radiale Komponente der 4-Beschleunigung (in natürlichen Einheiten):

$$\ddot{r}= \color{gray}{ \frac{\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{r}^2}{r \left(\Lambda r^3-3 r+6\right)} } -\frac{\left(\Lambda r^3-3 r+6\right) \left(\color{gray}{ 3 r^3 \left(\dot{\theta}^2 +\sin ^2 \theta \ \dot{\phi}^2\right) }+\left(\Lambda r^3-3\right) \dot{t}^2\right)}{9 r^3}$$

wo du einstellst$\dot{r}=\dot{\rm \theta}=\dot{\rm \phi}=0$und einstecken

$$\dot{t}=\sqrt{g^{t t}} \ \color{gray}{ \gamma } = \sqrt{\frac{1 \ / \ (1-2/r-\Lambda r^2/3)}{1-\color{gray}{ v^2 }}}$$

mit$v=0$, Wo$v$ist die Geschwindigkeit gemessen durch lokale und stationäre (relativ zur dominanten Masse) Fido s, dann erhält man

$$\ddot{r} = -\frac{1}{r^2}+\frac{\Lambda r}{3}$$

das ist in natürlichen Einheiten der Ausdruck, den Sie richtig erraten haben. Der Überpunkt ist die Differenzierung nach der Eigenzeit, aber in der Newtonschen Grenze sind Eigen- und Koordinatenzeit gleich.

Diese Gleichung nimmt die dominante Masse im Zentrum an, für eine n-Körper- Simulation die$r$im$-1/r^2$Begriff ist relativ zu den Massen und der$r$im$+\Lambda r/3$Begriff relativ zum Zentrum Ihres Koordinatengitters, von dem alles andere weg beschleunigt.