Temperatur des Schwarzen Lochs in einer asymptotisch de Sitter Raumzeit

Ich versuche, die Hawking-Temperatur eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs in einer Raumzeit zu berechnen, die asymptotisch dS ist. Wenn man die 2-Sphäre ignoriert, ist die Metrik gegeben durch$ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}-\frac{r^2}{L^2}\right)d\tau^2+\left(1-\frac{2M}{r}-\frac{r^2}{L^2}\right)^{-1}dr^2$

Wo$\tau=it$die euklidische Zeit und$L^2=\frac{3}{\Lambda}$.

Im asymptotisch flachen Raum ($\Lambda=0$), das muss man verlangen$\tau$in der inversen Temperatur periodisch sein$\beta$um eine konische Singularität am Ereignishorizont zu verhindern, aus der die Temperatur folgt.

In der asymptotisch de Sitter-Raumzeit gibt es jedoch 2 positive Wurzeln von$g_{\tau\tau}$: der Ereignishorizont des Schwarzen Lochs$r_h$, sondern auch den kosmologischen Horizont$r_c>r_h$. Wie im flachen Fall können wir den Zeitraum von ableiten$\tau$das wird benötigt, um eine konische Singularität bei zu verhindern$r_h$, aber dann bleibt immer noch eine konische Singularität bei übrig$r_c$. Ähnlich könnten wir machen$\tau$periodisch, so dass die konische Singularität bei$r_c$verschwindet.

Wir können jedoch nicht beide konischen Singularitäten zum Verschwinden bringen! Wie können wir dann in diesem Fall die Hawking-Temperatur des Schwarzen Lochs ableiten? Soll ich die Singularität am kosmologischen Horizont einfach ignorieren? Oder sollte ich andere Koordinatenpatches verwenden?