Euklidische Ableitung der Temperatur des Schwarzen Lochs; konische Singularitäten

Nun, die Singularität betrifft nicht die differenzierbare Struktur: Selbst um die Spitze eines Kegels herum (einschließlich der Spitze) kann man eine glatte differenzierbare Struktur definieren (offensichtlich kann diese glatte Struktur nicht durch die natürliche induziert werden$R^3$wenn der Kegel als eingebettet angesehen wird$R^3$). Hier ist die Singularität jedoch metrisch! Betrachten Sie a$2D$glatte Mannigfaltigkeit und ein Punkt$p$, nehmen wir an, dass eine glatte Metrik in einer Umgebung von definiert werden kann$p$, einschließlich$p$selbst. Betrachten Sie als nächstes eine Kurve$\gamma_r$Umgebung$p$definiert als die Menge von Punkten mit konstanter geodätischer Entfernung$r$aus$p$. Lassen$L(r)$sei die (metrische) Länge dieser Kurve. Es ist möglich, Folgendes zu beweisen:

$$L(r)/(2\pi r) \to 1\quad \mbox{ as $r \to 0$.}\qquad (1)$$ Tatsächlich ist es ziemlich offensichtlich, dass dieses Ergebnis gilt. Wir sagen, dass A $2D$Verteiler, ausgestattet mit einer glatten Metrik in einer Nachbarschaft $A-\{p\}$, von $p$(Beachte das jetzt $p$nicht zu der Menge gehört, in der die Metrik definiert ist), hat eine konische Singularität in $p$wenn: $$L(r)/(2\pi r) \to a\quad \mbox{ as $r \to 0$,}$$ mit$0<a<1$.

Beachten Sie, dass die Klasse der Kurven$\gamma_r$kann trotzdem definiert werden, auch wenn die Metrik bei$p$ist nicht definiert, da die Länge von Kurven und Geodäten jedoch definiert ist (als Grenze, wenn ein Endpunkt bei endet$p$). Offensichtlich, wenn es eine konische Singularität in gibt$p$, ist es nicht möglich, die Metrik von zu erweitern$A-\{p\}$zu$p$, sonst würde (1) gelten und wir wissen, dass es falsch ist.

Wie Sie verstehen können, ist dies alles unabhängig von der Wahl der Koordinaten, die Sie umher fixieren$p$. Trotzdem sind Polarkoordinaten sehr praktisch, um Berechnungen durchzuführen: Die Tatsache, dass sie nicht genau definiert sind$p$ist irrelevant, da wir nur daran interessiert sind, was um uns herum passiert$p$bei der Berechnung der Grenzen wie oben.

Ja, durch Entfernen des Punktes würde man die Singularität beseitigen, aber Tatsache bleibt, dass es unmöglich ist, die Mannigfaltigkeit zu erweitern, um auch im Grenzpunkt eine Metrik zu definieren$p$: die Metrik auf dem Rest der Mannigfaltigkeit erinnert an die Existenz der konischen Singularität!

Die Tatsache, dass die Lorentz-Mannigfaltigkeit im euklidischen Abschnitt keine Singularitäten aufweist und in der euklidischen Zeitkoordinate periodisch ist, hat die folgende physikalische Interpretation in einer Mannigfaltigkeit mit einem gegabelten Killing-Horizont, der von einem Killig-Vecotr-Feld erzeugt wird$K$. Sobald Sie eine Feldtheorie in den Lorentzschen Abschnitt einführen, impliziert die Glätte der Mannigfaltigkeit und die Periodizität in der euklidischen Zeit, dass die Zweipunktfunktion des Feldes, berechnet in Bezug auf den eindeutigen Gaußschen Zustand, unter der Tötungszeit invariant ist und das Verifizieren der sogenannten Hadamard-Bedingung (die sich analytisch bis in die euklidische Zeit fortsetzte, um den euklidischen Abschnitt zu erhalten) verifiziert eine bestimmte Bedingung, die KMS-Bedingung mit Periodizität$\beta = 8\pi M$.

Diese Bedingung bedeutet, dass der Zustand thermisch ist und die Periode der imaginären Zeit die Konstante ist$\beta$des kanonischen Ensembles , das durch diesen Zustand beschrieben wird (wobei auch der thermodynamische Grenzwert genommen wurde). Damit ist die zugehörige „statistische Mechanik“-Temperatur:

$$T = 1/\beta = 1/8\pi M\:.$$

Aber die "thermodynamische Temperatur"$T(x)$bei der Veranstaltung gemessen$x$bei einem Thermometer "im Ruhezustand" (dh dessen Weltlinie tangiert) muss die Tötungszeit im Lorentzschen Schnitt um den bekannten Tolman-Faktor korrigiert werden . Es berücksichtigt die Tatsache, dass die gefühlte Temperatur in Bezug auf die Eigenzeit des Thermometers gemessen wird, während der Zustand des Feldes in Bezug auf die Tötungszeit im Gleichgewicht ist . Das Verhältnis der Temperaturbegriffe ist das gleiche wie das umgekehrte Verhältnis der beiden Zeitbegriffe, und es ist in der (Quadratwurzel der Größe der) Komponente eingeschlossen$g_{00}$der Metrik

$$\frac{T}{T(x)}=\frac{dt_{proper}(x)}{dt_{Killing}(x)} = \sqrt{-g_{00}(x)}\:.$$ In einer asymptotisch flachen Raumzeit , z $r \to +\infty$, es hält $g_{00} \to -1$damit die "statistische Mechanik" Temperatur $T$stimmt mit dem vom Thermometer gemessenen überein $T(r=\infty)$weit entfernt vom Horizont des Schwarzen Lochs. Dies ist eine Antwort auf Ihre letzte Frage.

In den Kommentaren sprachen Sie über glatte Strukturen auf Konifalten und fragten nach einer Konifalte, die keine Mannigfaltigkeit ist ...

Natürlich hängt dies von Ihrer Definition von Kegelfalten ab (siehe zum Beispiel Boileau-Leeb-Porti "Geometrisierung dreidimensionaler Orbifalten" für eine Definition von hyperbolischer, euklidischer oder sphärischer Kegelfalte).

Siehe McMullen - "the Gauss-Bonnet theorem for cone mannigfaltigkeiten" für eine schöne Definition der Riemannschen Kegelmannigfaltigkeit (oder Conifold).

In jedem Fall ist das Komplement des singulären Orts (der eine Kodimension von mindestens zwei hat) der Konifalte eine Mannigfaltigkeit mit einer glatten Riemannschen Metrik, und die Konifalte ist ihre geodätische Vervollständigung.

In jeder Definition muss Conifold (oder Cone-Manifold) ein Raum mit metrischer Länge und ein geschichteter Raum mit einer glatten Struktur und einer Riemannschen Metrik sein (im Sinne von geschichteten Räumen, nicht von Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen).

Für nicht-mannigfaltige Beispiele (unter Verwendung von McMullens Definition) ... In Dimension zwei ist jede 2-Konifalte (oder Kegelfläche) topologisch eine Mannigfaltigkeit, im Gegensatz zur höheren Dimension: Denken Sie zum Beispiel an den euklidischen Kegel über der sphärischen Projektionsebene (dh die runde 2-Kugel Modulo Z/2)