Operationsverstärker mit T-Netzwerk im Rückkopplungspfad

Deine Schreibweise ist nicht ganz klar. Aber da Sie die gesuchte Antwort gegeben haben, verstehe ich, was Sie meinten. Sie möchten wissen, wie sich der Ausgang auf den Strom auswirkt, der über das T-Netzwerk in den invertierenden Eingang eintritt. Ihr Ziel ist es, das Äquivalent zu finden$R_F$(wenn ich dich verstehe) würde das ein ähnliches Ergebnis haben wie in:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

(Oben habe ich zwei Widerstände als denselben Wert behandelt,$R_T$, um die Dinge ein wenig zu vereinfachen.)

Da kann der invertierende Eingang so nah wie möglich genommen werden$0\:\textrm{V}$, für die Zwecke hier stellt sich die Frage im Wesentlichen nur: "Wie beeinflusst die Spannung am Verstärkerausgang den Strom, der in den invertierenden Knoten eintritt?"

Um das herauszufinden, finden Sie zuerst heraus$V_X$:

$$\begin{align*} V_X &= \frac{V_O\cdot R_G\cdot R_T+0\:\textrm{V}\cdot R_T\cdot R_T+0\:\textrm{V}\cdot R_G\cdot R_T}{R_T\cdot R_T+R_T\cdot R_G+R_T\cdot R_G}\\\\ &= V_O\frac{R_G}{R_T+ 2\cdot R_G} \end{align*}$$

Daraus lässt sich leicht rechnen:

$$\begin{align*} I_X &=\frac{V_X}{R_T}=\frac{V_O}{R_T}\frac{R_G}{R_T+ 2\cdot R_G}\\\\ &=\frac{V_O}{\frac{R_T\cdot\left(R_T+ 2\cdot R_G\right)}{R_G}}\\\\ \therefore R_F &=\frac{R_T\cdot\left(R_T+ 2\cdot R_G\right)}{R_G}\\\\ &=R_T\cdot\left(2+\frac{R_T}{R_G}\right) \end{align*}$$

Das Ergebnis ist$R_F\approx 10.004\:\textrm{M}\Omega$

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Nur eine Anmerkung zu T-Netzen aus meiner persönlichen Erfahrung mit Elektrometern. (Ich habe mit Schaltungen experimentiert, die unten erreicht haben$1\:\frac{\textrm{fA}}{\sqrt{\textrm{Hz}}}$eingangsbezogene Rauschpegel und buchstäblich unverpackte Würfel kaufen und Drahtbonder und stabile Temperaturen verwenden müssen$-5\:^\circ\textrm{C}$[niedrig, aber nicht so niedrig, dass mein Fenster vereisen würde] in winzigen, versiegelten Modulen mit Quarzfenstern, um dorthin zu gelangen.)

Diese T-Netze erzeugen tatsächlich ein höheres Stromrauschen ($i_N$) und der Spannungsteiler am Ausgang multipliziert Eingangsoffsetspannung, Drift und Verstärkerspannungsrauschen mit dem Verhältnis von$1+\frac{R_T}{R_G}$. Diese Eingangsspezifikationen sind ohnehin oft ziemlich beschissen, sodass es ziemlich schnell wahnsinnig unpraktisch wird, ihren ohnehin schon lästig hohen Offset und Drift (hier werden fast immer FET-Operationsverstärker mit niedrigem Eingangsstrom verwendet) durch die Verwendung eines T-Netzwerks anstelle eines großen Rückkopplungswiderstands zu vervielfachen .

(Sicher, das Johnson-Rauschen des Rückkopplungswiderstands muss ebenfalls berücksichtigt werden. Aber es ist nicht annähernd so problematisch, wenn Sie es auf den Eingang zurückführen wie das Eingangsstromrauschen.)

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HINWEIS zu OP:

Sie schrieben:

„Sollte das erste nicht$R_T$und$R_G$parallel sein, mit der Kombination in Reihe mit zweiten$R_T$? Resultierender Ausdruck ist$\left(R_T\:\mid\mid\:R_G\right)+R_T$. Was ist an diesem Ausdruck falsch?"

An diesem Ausdruck ist nichts falsch, außer dass er nicht im richtigen Kontext angezeigt wird. Mal sehen wo das hinführt.

Beginnend am Ausgang und rückwärts arbeitend:

$$\begin{align*} V_{TH} &= V_O\cdot\frac{R_G}{R_G+R_T}\\\\ R_{TH} &= \frac{R_T\cdot R_G}{R_G+R_T} \end{align*}$$

Wir müssen nun den Wert von addieren$R_T$führt zurück zum invertierenden Eingangsknoten zu$R_{TH}$um den gesamten Thevenin-Widerstand zu erhalten, der von der oben berechneten Thevenin-Spannung gesehen wird. Der Strom in den invertierenden Knoten aufgrund der Ausgangsspannung des Operationsverstärkers ist also:

$$\begin{align*} I_{V_O} &= \frac{V_{TH}}{R_{TH}+R_T} \end{align*}$$

Uns interessiert aber eigentlich das Effektive$R_F=\frac{V_O}{I_{V_O}}$(Der äquivalente Rückkopplungswiderstand wird bestimmt, indem die Ausgangsspannung durch den Strom geteilt wird, den sie in den invertierenden Knoten einfließen lässt, als ob wir dort einen solchen Widerstand hätten.) Also:

$$\begin{align*} R_F &= \frac{V_O}{I_{V_O}}\\\\ &= \frac{V_O}{\frac{V_{TH}}{R_{TH}+R_T}}=\frac{V_O}{\frac{V_O\cdot\frac{R_G}{R_G+R_T}}{R_{TH}+R_T}}\\\\ &=\left(R_{TH}+R_T\right)\cdot\left(1+\frac{R_T}{R_G}\right) \end{align*}$$

Und jetzt können Sie hier Ihren Faktor sehen, der in der obigen Gleichung vorhanden ist. Aber beachten Sie, dass es nicht allein ist! Da gibt es noch einen zweiten Faktor.

Da könnten wir einfach aufhören. Aber lass uns weitermachen:

$$\begin{align*} R_F &= \left(R_{TH}+R_T\right)\cdot\left(1+\frac{R_T}{R_G}\right)\\\\ &= \left(\frac{R_T\cdot R_G}{R_G+R_T}+R_T\right)\cdot\left(1+\frac{R_T}{R_G}\right)\\\\ &=\frac{R_T\cdot\left(R_T+2\cdot R_G\right)}{R_G}\\\\ &=R_T\cdot\left(2+\frac{R_T}{R_G}\right) \end{align*}$$

Was genauso ist wie vorher.