Auch wenn viele interessante Gemeinsamkeiten zwischen dem klassischen und dem quantenmechanischen Framework herausgearbeitet wurden, zB im Bereich der Deformationsquantisierung, gibt es im Allgemeinen einige mathematische Probleme. Und bei der konventionellen Formulierung will man sowas nicht machen für den Ausdruck .
In der speziellen Relativitätstheorie gibt es viele Formeln, bei denen man die nicht-relativistische Formel erhält, indem man die naive Grenze nimmt , z.B
Ich frage mich, ob Sie wissen, dass Sie das immer tun können. Gibt es eine Formulierung der speziellen Relativitätstheorie (vielleicht ist es bereits die Standardformulierung), bei der die Ausgangsannahmen / Axiome / Darstellungen von Diskursobjekten die Konstante beinhalten? , und wenn Sie sie mitnehmen, um alle Standardableitungen durchzuführen, erhalten Sie am Ende immer Ergebnisse, die sich auf die Newtonsche Mechanik reduzieren, wenn Sie diese Grenze nehmen?
Das Problem entsteht, wenn man naiv die Grenze eines Ausdrucks als Konstante nimmt , wie z oder , geht auf einen Wert (oder unendlich). Was diese Grenzen physikalisch bedeuten, ist, dass ein dimensionsloses Verhältnis zwischen einer charakteristischen Größe und dieser Konstante einen bestimmten Wert (oder unendlich) erreicht.
Spezielle Relativität
Der sogenannte nicht-relativistische Grenzwert (der Name ist schrecklich, weil die Galileische Physik so relativistisch ist wie die spezielle Relativitätstheorie) der speziellen Relativitätstheorie besteht darin, den Grenzwert als das Verhältnis zu nehmen oder geht auf Null, mit Fest. Als nur durch diese Verhältnisse sehr oft auftaucht, ist es formal gleichbedeutend mit der Grenze bis unendlich gehen (in diesen Fällen wo erscheint nur durch diese Quotienten). Es gibt jedoch Fälle, bei denen es beispielsweise um Feldtheorien geht, wo man den Ausdruck ein wenig ausarbeiten muss, um diese Verhältnisse zu finden. (Übrigens ist auch die Carroll-Kinematik durch den Grenzwert gekennzeichnet , aber in diesem Fall selbst geht zusätzlich auf Null (als ), etwas mit wenig physikalischer Bedeutung, soweit ich weiß).
Quantenmechanik
Die klassische Grenze ist häufig schwieriger, da es schwieriger ist, charakteristische Größen mit Dimensionen von zu identifizieren . In einigen Fällen ist es jedoch ziemlich klar. Zum Beispiel in der Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik der dimensionslose Exponent den klassischen Grenzwert bestimmen. Wenn dieser Quotient gegen unendlich geht (oder formal wann gegen Null geht) heben sich alle Pfadbeiträge außer demjenigen auf, der minimiert wird , der klassische Weg. Ähnliches passiert bei der Sommerfeld-Quantisierung für große Quantenzahlen. Obwohl das Problem das gleiche ist wie in der speziellen Relativitätstheorie, gibt es weniger Ausdrücke, die einfache dimensionslose Verhältnisse beinhalten, und dies macht die klassische Grenze schwieriger als die nicht-relativistische Grenze. Und tatsächlich kann man in zig guten Büchern und Artikeln falsche Dinge lesen, wie die Identifizierung der klassischen Grenze mit dem Beitrag auf Baumebene (nullte Ordnung in der Störungstheorie), was nicht in allen Fällen zutrifft (obwohl es richtig ist meiste Fälle).
Angenommen, ich habe ein Skalarfeld. Die Gleichung für die Feldentwicklung lautet
Also das Problem mit dem Nehmen des Limits ist genau das gleiche wie nehmen auf Null in der Quantenmechanik, ein abgeleiteter Term verschwindet.
Der Grund, den Sie denken irgendwie schwieriger ist, liegt an der Abstraktheit des Quantenformalismus. Wenn Sie umschreiben als (dasselbe gilt für ebene Wellen), das kleine Grenze wird offensichtlicher --- die Wellenlänge geht auf Null, wobei p fest gehalten wird, so dass die Beugungseffekte verschwinden.
Gute Frage!
Es gibt eine verrückte Grenze namens Carroll-Kinematik, die 1965 in Levy-Leblond eingeführt wurde. Baccetti 2011 ist ein frei verfügbares Papier, das sie beschreibt.
Es gibt zwei verschiedene Galileische Grenzen des Elektromagnetismus (Le Bellac 1973). Siehe de Montigny 2005 für eine Beschreibung.
Da die Galileische Grenze oft nicht eindeutig ist, sollte es ziemlich klar sein, dass wir sie nicht in allen Fällen einfach durch Nehmen erhalten können .
Eine andere Möglichkeit, um zu sehen, dass dieser Ansatz auf Probleme stößt, ist die in Grenze, wird die Metrik entartet. Die gesamte Standardmaschinerie der Relativitätstheorie, z. B. die Fähigkeit, Indizes zu erhöhen und zu verringern, basiert auf der Annahme, dass die Metrik nicht entartet ist.
Baccetti, Tate und Visser, 2011, „Inertial Frames without the Relativity Principle“, http://arxiv.org/abs/1112.1466
Le Bellac M und Levy-Leblond JM 1973, „Galilean electromagnetism“, Nuov. Cim. B 14 217-233
Levy-Leblond, „Une nouvelle limite non-relativiste du group de Poincaré“, Ann. Inst. Henri Poincaré 3 (1965)
Marc De Montigny, Germain Rousseaux, 2005, „Zur Elektrodynamik sich bewegender Körper bei niedrigen Geschwindigkeiten“, http://arxiv.org/abs/physics/0512200
DJBunk
Nikolaj-K
Ron Maimon
Nikolaj-K