Wie genau wird die konforme Zeit ηη\eta berechnet?

Ich bin mir nicht sicher, ob das das ist, was Sie wollen, aber ich möchte es versuchen,

$$\eta=\int \frac {dt} {a}=\int\frac {da} {a\dot{a}}=\int\frac {da} {a^2H}$$ und wir können schreiben $$H(z)=H_0E(z)$$ $$E(z)=\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_r(1+z)^4+\Omega_{\kappa}(1+z)^2}$$

also haben wir,

$$\eta=\int\frac {da} {a^2H_0E(z)}$$

Und$dz=-da/a^2$damit wir schreiben können,

$$\eta=-H_0^{-1}\int\frac {dz} {E(z)}$$

Und indem man die anfängliche Bedingung als nimmt$z=\infty$, und aufgrund des Minuszeichens wird das Integral zu

$$\eta=H_0^{-1}\int_z^{\infty}\frac {dz} {E(z)}$$

Um den Strom zu finden ($t_0$) konforme Zeit, können wir die obige Gleichung verwenden, z$z=0$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{z=0}^{\infty}\frac {dz} {E(z)}$$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_r(1+z)^4+\Omega_{\kappa}(1+z)^2}}$$

Für die aktuellen Werte von$\Omega_{\Lambda}=0.69$,$\Omega_m=0.31$,$\Omega_{\kappa}= \Omega_r=0$

wir haben,

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{\Omega_{\Lambda}+\Omega_m(1+z)^3}}$$

$$\eta=H_0^{-1}\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{0.69+0.31(1+z)^3}}$$

Wenn wir nehmen$H_0=70km/s/Mpc$Dann$1/H_0=1/(70\times 3.2408\,10^{-20})=4.4133353\,10^{17}s$

Und das Integral gibt,

$$\int_{0}^{\infty}\frac {dz} {\sqrt{0.69+0.31(1+z)^3}}=3.266054427285631$$

So

$$\eta(t_0)=3.266054427285631\times 4.4133353\,10^{17}s=1.4414193\,10^{18}=45.70 \,\text {Gigayear}$$

Um das Integral zu berechnen, können Sie diese Seite verwenden

Ich schreibe das Integral in Bezug auf$z$Es ist jedoch auch möglich, die Gleichung in Bezug auf zu schreiben$a(t)$(der Anfangsteil der Ableitung). Aber$z$ist der beobachtbare Wert, also schreibe ich lieber in dieser Form.

Für ein gegebenes$t$man kann sich leicht drehen$a(t)$Zu$z$.

$a(t)$kommt aus der Lösung der Friedmann-Gleichungen. Will man Materie, Strahlung und Dunkle Energie berücksichtigen, muss man das numerisch tun.

Wenn Sie sich jedoch nicht um die ersten 10 Millionen Jahre nach dem Urknall kümmern, können Sie Strahlung ignorieren und eine schöne analytische Lösung erhalten, die Materie (einschließlich dunkler Materie) und dunkle Energie berücksichtigt:

$$a(t)=\left(\frac{\Omega_m}{\Omega_\Lambda}\right)^{1/3}\left(\sinh{\frac{t}{t_\Lambda}}\right)^{2/3}$$

Wo

$$t_\Lambda=\frac{2}{3H_0 \Omega_\Lambda^{1/2}}.$$

Hier$\Omega_m$ist der aktuelle Bruchteil der kritischen Dichte, der Materie ist,$\Omega_\Lambda$ist der aktuelle Bruchteil der kritischen Dichte, die dunkle Energie ist, und$H_0$ist die aktuelle Hubble-Konstante. Dies gilt für ein flaches Universum, was wir beobachten.

Diese Gleichung und Werte für diese drei Zahlen finden Sie im Lambda-CDM-Modellartikel von Wikipedia :

$\Omega_m=0.3089$

$\Omega_\Lambda=0.6911$

$H_0=67.74$km/s/Mpc

Diese Lösung zeigt, wie der Skalierungsfaktor zuerst gewachsen ist$t^{2/3}$wenn Materie dominierte und später exponentiell wächst, wenn dunkle Energie dominiert.

Es wird keine Möglichkeit geben, eine Beziehung herzustellen$\eta$Zu$t$Es sei denn, Sie kennen die Funktion bereits$a(t)$, was von Ihrem fraglichen kosmologischen Modell abhängen wird. Die gegebene integrale Darstellung kommt einem Ausdruck in geschlossener Form am nächsten, ohne dass ihr explizit ein expliziter Wert gegeben wird$a$.

Zum Beispiel haben wir für eine inflationäre Ära$a=a_0e^{Ht}$, Wo$H$ist der konstante Hubble-Parameter. In diesem Fall haben wir

$$\eta(t)=\int\frac{\mathrm{d}t}{a(t)}=\frac{1}{a_0}\int\mathrm{d}t\,e^{-Ht}=C-\frac{1}{a_0H}e^{-Ht}.$$

Dies kann invertiert werden, um zu geben

$$a(t)=a_0e^{Ht}=\frac{1}{H(C-\eta)}.$$

Pflücken$C=0$gibt

$$a(\eta)=-\frac{1}{H\eta}.$$

Beide$\eta(t)$Und$a(\eta)$sind schöne, einfache Ausdrücke in geschlossener Form, die aber nur in Zeiten der Inflation gelten. Andere Epochen (von Materie dominiert, Strahlung, kosmologische Konstante, Kombinationen der drei usw.) haben andere Werte von$a(t)$, und damit die Definition von$\eta$wird sich ändern, und kein Ausdruck in geschlossener Form (dh ohne Integralzeichen) kann jeden Fall umfassen.