Offenes Universum ohne Urknall?

Die Trennlinie trifft sich bei$(\Omega_m,\Omega_\Lambda)=(0,1)$. Aus den Friedmann-Gleichungen folgt der Skalenfaktor$a(t)$erfüllt die Relation

$$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_m a^{-1} + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2.$$ Das Universum hat keine Urknall-Singularität, wenn der obige Ausdruck für einige (kleine) Werte von negativ (oder null) ist $a$. Wir müssen also prüfen, unter welchen Bedingungen $$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} \leqslant 0.$$ Nehmen wir zunächst einmal an $\Omega_m = 0$. Dann ist die Bedingung $$(1 - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 \leqslant 0,$$ was impliziert $\Omega_\Lambda\geqslant 1$. Der Wert $(\Omega_m,\Omega_\Lambda)=(0,1)$ist in der Tat ein Sonderfall, denn dann haben wir $$\frac{\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_\Lambda a^2,$$ mit Lösung $a(t) \sim \exp(tH_0\sqrt{\Omega_\Lambda})$, die keinen Urknall hat, da $a\rightarrow 0$Wenn $t\rightarrow-\infty$, dh die Singularität liegt in der unendlichen Vergangenheit.

Wenn$\Omega_m > 0$, dann benötigen wir noch höhere Werte von$\Omega_\Lambda$ein Universum ohne Urknall zu bekommen. Dies folgt aus der Tatsache, dass für kleine Werte von$a$, wir haben

$$\begin{multline} \Omega_m a^{-1} + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 >\\ \Omega_m + (1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2 = (1 - \Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda a^2, \end{multline}$$ also für gegeben $a$, die Werte von $\dot{a}^2/H_0^2$im allgemeinen Fall sind größer als die $(\Omega_m = 0)$Fall.