Gleichung für den Hubble-Wert als Funktion der Zeit

Die allgemeine Lösung funktioniert wie folgt:

Wir beginnen mit der Friedmann-Gleichung

$$\dot{a}^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho a^2 = -kc^2,$$ mit $k=0,\ 1,\ $oder $-1$, Und $\rho$die Gesamtdichte. Da die rechte Seite konstant ist, können wir schreiben $$\dot{a}^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho a^2 = \dot{a}_0^2 - \frac{8\pi G}{3}\rho_0 a_0^2,$$ wobei der Index 0 die heutigen Werte bezeichnet. Wenn wir die Hubble-Konstante einführen $$H_0 = \frac{\dot{a}_0}{a_0}$$ und die heutige kritische Dichte $$\rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8\pi G},$$ wir bekommen $$\frac{\dot{a}^2}{a_0^2} - H_0^2\frac{\rho}{\rho_{c,0}} \frac{a^2}{a_0^2} = H_0^2 - H_0^2\frac{\rho_0}{\rho_{c,0}}$$ oder $$H^2 = \frac{\dot{a}^2}{a^2} = H_0^2\left[\frac{\rho}{\rho_{c,0}} + \frac{a_0^2}{a^2}\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_{c,0}}\right)\right].$$ Nun gibt es drei Beiträge zur Gesamtdichte: Strahlung, Materie (normal und dunkel) und dunkle Energie: $$\rho = \rho_R + \rho_M + \rho_{\Lambda}.$$ Diese Dichten ändern sich im Laufe der Zeit wie folgt: Die Materiedichte nimmt mit zunehmendem Volumen des Universums ab, also $\rho_M\sim a^{-3}$, wie Sie es erwarten würden. Die Strahlung fällt so ab $\rho_R\sim a^{-4}$(der zusätzliche Faktor ist auf die Rotverschiebung zurückzuführen). Und im Standardmodell bleibt die dunkle Energie konstant: $\rho_{\Lambda} = \text{const}$. Mit anderen Worten, $$\begin{align} \rho_R a^4 &= \rho_{R,0}\, a_0^4,\\ \rho_M a^3 &= \rho_{M,0}\, a_0^3,\\ \rho_\Lambda &= \rho_{\Lambda,0}, \end{align}$$ und schließlich mit den Notationen $$\Omega_{R,0} = \frac{\rho_{R,0}}{\rho_{c,0}},\quad \Omega_{M,0} = \frac{\rho_{M,0}}{\rho_{c,0}},\quad \Omega_{\Lambda,0} = \frac{\rho_{\Lambda,0}}{\rho_{c,0}},\\ \Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0},$$ wir finden $$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}},$$ wo wir die Konvention verwendet haben $a_0=1$. Beachte das auch $$\dot{a} = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-2} + \Omega_{M,0}\,a^{-1} + \Omega_{K,0} + \Omega_{\Lambda,0}\,a^2},\\ \ddot{a} = -\frac{1}{2}H_0^2\left(2\,\Omega_{R,0}\,a^{-3}+\Omega_{M,0}\,a^{-2} -2\,\Omega_{\Lambda,0}\,a\right).$$ Die neuesten Werte der Parameter, die von der Planck-Mission erhalten wurden, sind $$H_0 = 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} = 9.24\times 10^{-5},\qquad\Omega_{M,0} = 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} = 0.685,\qquad\Omega_{K,0} = 0.$$ Jetzt haben wir also den Hubble-Parameter als Funktion des Skalenradius $a$. Wie können wir dies in eine Funktion der Zeit umwandeln? Aus $$\dot{a} = \frac{\text{d}a}{\text{d}t}$$ wir bekommen $$\text{d}t = \frac{\text{d}a}{\dot{a}} = \frac{\text{d}a}{aH(a)} = \frac{a\,\text{d}a}{a^2H(a)},$$ so dass $$\begin{align} t(a) &= \int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{a'^2H(a')}\\ &= \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}}. \end{align}$$ Indem wir diese Beziehung umkehren, erhalten wir $a(t)$. Leider muss diese Umkehrung numerisch erfolgen. Und schlussendlich, $$H(t) = H(a(t)).$$

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PS Die von Ihnen erwähnte Lösung ist der Fall, in dem Strahlung und Materie vernachlässigbar sind und dunkle Energie eine allgemeinere Form hat (Quintessenz genannt):

$$\rho_R=\rho_M=0,\quad \rho_\Lambda = \rho_{\Lambda,0}\,a^{-3(1+w)},$$ Wo $w=-1$entspricht dem Normalfall einer kosmologischen Konstante. In diesem Fall gilt für ein Universum ohne Krümmung $$H^2 = H_0^2\,a^{-3(1+w)},\qquad t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a a'^{(1+3w)/2}\,\text{d}a',$$ mit Lösung $a\sim t^{2/(3+3w)}$, für $w>-1$. Lösungen mit $w\leqslant-1$haben keinen Urknall, also die untere Schranke im Integral $t(a)$kann nicht Null sein.

In jedem Fall sind dies keine genauen Beschreibungen unseres Universums, da sie die Beiträge von Materie und Strahlung ignorieren.