Gravitationsfeld auf der Oberfläche einer Kugelschale

Question

Gravitationsfeld auf der Oberfläche einer Kugelschale

ymuf

Wie groß wäre das Gravitationsfeld einer Hohlkugel (Masse: $M$ , Radius: $r$ ) auf seiner Oberfläche?

Betrachten Sie eine elementare Masse der Oberfläche. Lassen Sie Feld wegen $dm$ Sei $E_1$ und wegen $M - dm$ Sei $E_2$ .

An einem Punkt direkt innerhalb der Kugel, $E_1 = E_2$ , da das Feld im Inneren Null sein muss (die Richtungen sind aufgrund der Symmetrie eindeutig entgegengesetzt).

An einem Punkt knapp außerhalb der Kugel, $E_1 + E_2 = GM/r^2$ was impliziert $E_1 = E_2 = GM/2*r^2$ .

Jetzt ist das Nettofeld auf dm gleich $E_2$ da das Feld auf sich selbst Null ist.

Daher wäre Nettofeld auf der Oberfläche $GM/2*r^2$ . Aber die Standardintegrationsmethode gibt nach $GM/r^2$ , was meiner Meinung nach falsch ist, da wir das Feld von hinzufügen $dm$ auf sich. Was wird also das Feld sein?

Slereah

Sie haben Glück, denn es gibt buchstäblich ein Theorem namens Shell Theorem, das sich genau mit diesem Thema befasst

ymuf

en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem Ich habe es mir bereits angesehen, es spricht über Felder innerhalb und außerhalb der Kugel. Mir geht es um das Feld auf der Kugel. Und was ist falsch an meiner Logik.

Kommunismus

Die Standardmethode ist richtig und Sie liegen falsch. Feld aufgrund der elementaren Masse ist

G d m / r_{1}^{2}

$Gdm/r_{1}^{2}$ . Sie liegen falsch, wenn Sie annehmen, dass die große Masse und Elementarmasse ein gleich großes Feld erzeugen würden. Tatsächlich liegen Sie falsch, dass die Summe der Felder wäre

G M / r ²

$GM/r²$ es ist nur das Feld der Masse M. Wenn Sie sich nicht genau an der Stelle von dm befinden, ist sein Feld Null und das Gesamtfeld ist richtig, wie Sie sagten.

Lesnik

Dein Ansatz ist richtig! Was ist die "Standardintegrationsmethode", auf die Sie sich beziehen?

ymuf

@lesnik überprüfen Sie den Link für das Shell-Theorem

ymuf

@Community zur Klarstellung: Feld ON der Kugel wird GM / 2 * r ^ 2 sein, richtig? Zweitens vergiss die Hohlkugel für eine Sekunde und betrachte einfach M - dm und dm so angeordnet, dass sie eine Hohlkugel ergeben. Ihrer Meinung nach hätte das Feld der Elementarmasse keinen Beitrag zum Nettofeld, und eine Hohlkugel mit einer herausgenommenen Elementmasse würde im Inneren immer noch ein Nullfeld ergeben. Und wenn das Feld auf der Oberfläche GM / 2 * r ^ 2 ist, bedeutet das nicht, dass die Elementmasse GM / 2 * r ^ 2 ergibt, um GM / r ^ 2 direkt außerhalb zu ergeben.

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Gravitationsfeld auf der Oberfläche einer Kugelschale

Sie haben Glück, denn es gibt buchstäblich ein Theorem namens Shell Theorem, das sich genau mit diesem Thema befasst
en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem Ich habe es mir bereits angesehen, es spricht über Felder innerhalb und außerhalb der Kugel. Mir geht es um das Feld auf der Kugel. Und was ist falsch an meiner Logik.
Die Standardmethode ist richtig und Sie liegen falsch. Feld aufgrund der elementaren Masse ist $Gdm/r_{1}^{2}$ . Sie liegen falsch, wenn Sie annehmen, dass die große Masse und Elementarmasse ein gleich großes Feld erzeugen würden. Tatsächlich liegen Sie falsch, dass die Summe der Felder wäre $GM/r²$ es ist nur das Feld der Masse M. Wenn Sie sich nicht genau an der Stelle von dm befinden, ist sein Feld Null und das Gesamtfeld ist richtig, wie Sie sagten.
Dein Ansatz ist richtig! Was ist die "Standardintegrationsmethode", auf die Sie sich beziehen?
@Community zur Klarstellung: Feld ON der Kugel wird GM / 2 * r ^ 2 sein, richtig? Zweitens vergiss die Hohlkugel für eine Sekunde und betrachte einfach M - dm und dm so angeordnet, dass sie eine Hohlkugel ergeben. Ihrer Meinung nach hätte das Feld der Elementarmasse keinen Beitrag zum Nettofeld, und eine Hohlkugel mit einer herausgenommenen Elementmasse würde im Inneren immer noch ein Nullfeld ergeben. Und wenn das Feld auf der Oberfläche GM / 2 * r ^ 2 ist, bedeutet das nicht, dass die Elementmasse GM / 2 * r ^ 2 ergibt, um GM / r ^ 2 direkt außerhalb zu ergeben.

Lesnik · Answer 1

Der oben erwähnte Schalensatz erklärt, wie man das Gravitationsfeld innerhalb und außerhalb der Schale berechnet.

Es ist nicht wirklich richtig zu fragen, was genau das Feld auf der Oberfläche der Schale ist. Denn die Funktion $g(r)$ ist bei nicht stetig $r = R$ .

Aber es ist richtig zu fragen, welche Gravitationskraft auf jeden Teil der Schale im Vergleich zum Rest wirkt. Wenn die Kraft auf einen kleinen Teil der Schale wirkt $g * dm$ , dann ist es natürlich zu sagen, dass das Gravitationsfeld auf der Oberfläche ist $g$ .

Sie nehmen also einen kleinen Teil der Schale $dm$ und wollen die Gravitationskraft finden, die auf diesen Teil der Schale wirkt. Ihr Ansatz ist richtig, die Kraft ist $G M dm / 2 R^2$ .

Ich kann einen anderen Ansatz vorschlagen, der das gleiche Ergebnis liefert.

Lassen Sie uns die potentielle Energie der Schale berechnen. Nehmen wir einen sehr kleinen Teil davon und ziehen ihn ins Unendliche. Wir haben einige Energie dafür aufgewendet: $G M dm/R$ . Dann nehmen wir einen anderen Teil der Schale und so weiter. Aber wir werden die kleinen Teile von verschiedenen Seiten der Schale nehmen, so dass die verbleibende Masse immer noch eine kugelförmige Schale bildet. Es würde nur dünner und dünner werden, bis es sich in nichts auflöst.

Die Energie, die wir aufwenden müssen, hängt von der verbleibenden Masse ab. $dA(m) = G m dm /R$ . Dies ist eine lineare Funktion und einfach zu integrieren. Die gesamte Energie, die wir ausgegeben haben, wäre $A = G M^2/2R$ . Und die gesamte Gravitationsenergie der Schale ist $W=-GM^2/2R$ .

Lassen Sie uns nun die Kugel aufblasen $x$ . Seine Energie würde sich erhöhen um:

X * D W / D R = X * G M^{2} / 2 R^{2}

$x * dW/dR = x * G M^2/2R^2$

Wir können auch die Energie berechnen, die wir aufgewendet haben, um jedes Stück der Schale nach oben zu ziehen $x$ . Die Kraft, die auf jedes kleine Stück wirkt $dm$ ist proportional zu $dm$ : $f = g*dm$ . Die Gesamtarbeit ist also

\sum_{D M} X * G * D M = X * G * M

$\sum_{dm} x * g * dm = x*g*M$

Vergleichen Sie nun die geleistete Arbeit und den Energiezuwachs:

X * G M^{2} / 2 R^{2} = X * G * M

$x * GM^2 / 2R^2 = x * g *M$

G = G M / 2 R^{2}

$g = GM/2R^2$

Beere · Answer 2

Wenn wir weiter oben M als Konstante lassen, können wir anscheinend GMdm/2R^2 über dm (von 0 bis M) integrieren, um eine Summe oder Gesamtheit der Gravitationskräfte auf der Oberfläche der Kugel zu erhalten, wodurch GM erhalten wird ^2/2R^2.

Gravitationsfeld auf der Oberfläche einer Kugelschale

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Slereah

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Kommunismus

Lesnik

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Lesnik

Beere

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