In einer früheren Frage zu Unterschieden in Newtonscher und GTR -Gravitationskraft für den Fall von Gravitationswechselwirkungen zwischen Stern und Planet wurde eine ungefähre Beziehung zwischen den Ausdrücken für die Gravitationskraft festgestellt, die von einem Stern auf einen umlaufenden Planeten ausgeübt wird (die Lösung sind gültige Situationen mit geringer Schwerkraft , langsame Orbitalgeschwindigkeit und sphärische Quelle). Grundlage hierfür waren Texte in Walter 2008 und Goldstein et al 2001 .
Walter leitete eine ungefähre Beziehung unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn ab. Goldstein konzentrierte sich auf die Ableitung eines Orbit-Average-Ausdrucks für die Perihel-Präzession.
Bei erneuter Prüfung dieser Texte scheint es mir, dass die GTR (Allgemeine Relativitätstheorie) mehr als nur eine bahngemittelte Annäherung liefert. Vielmehr liefert sie eine phasenspezifische Formel für die Gesamtbeschleunigung (in Scwharzschild-Raumzeit).
Die Bewegungsgleichung für eine Newtonsche Umlaufbahn lautet
Verwenden wo ist die momentane Querkomponente der Geschwindigkeit (vektoriell = volle Geschwindigkeit minus radiale Geschwindigkeit), die wir erhalten können
Walter stellt die folgende Gleichung für eine GTR-Umlaufbahn (Schwarzschild-Modell) auf
Jetzt mit und wir bekommen
Und so (wenn man andere massive störende Körper ignoriert) ist die Größe der gesamten augenblicklichen Radialkraft auf den Planeten (der Masse ) zur Sonne ist gegeben durch:-
NB: Die GTR/Schwarzschild-Gleichungen beziehen sich auf die Eigenzeit und den Schwarzschild-Radialabstand, nicht auf ihre Newtonschen Äquivalente, so dass das Verhältnis der Beschleunigungen immer noch eine Annäherung ist.
Ist diese Analyse gültig oder habe ich etwas übersehen?
Ich habe die Antwort von Stan Liou als sehr hilfreich akzeptiert, um (a) eine Ableitung der von Walter und Goldstein et al. und (b) Angabe der unvollständigen Entsprechung zwischen GTR-Begriffen/Konzepten und Newtonschen Begriffen/Konzepten.
Mein Verständnis ist wie folgt. In einem Newtonschen Zentralkraft-Ellipsenbahnmodell wird die Hinzufügung einer zusätzlichen zentrumsgerichteten Beschleunigung ( ), die durch die Umlaufbahn als variiert multipliziert mit der zeitgleichen standardmäßigen Newtonschen zentrumsgerichteten Gravitationsbeschleunigung, kann (durch Störungsanalyse erster Ordnung oder numerische Modellierung) gezeigt werden, dass sie eine Apsidenpräzession mit einer Rate (Bogenmaß pro Umlaufbahn) erzeugt, die durch eine Newtonsche Formel definiert ist
Verschiedene Autoren ( Einstein , Goldstein, Walter, vermutlich viele andere) präsentieren mathematische Argumente, die zeigen, wie eine identische Formel aus Einsteins GTR abgeleitet werden kann. Die präsentierten Argumente können Annäherungen (z. B. Walters Verwendung von nahezu kreisförmigen Umlaufbahnen, Goldsteins Verwendung von bahngemittelter Präzession) und nicht-mathematische "Entsprechungen" zwischen den Konzepten/Termen des GTR-Modells und den Konzepten/Termen des Newtonschen Modells beinhalten.
Da ich Walters Buch nicht habe, bin ich mir als Kontext der Ableitung der von Ihnen zitierten Gleichung unsicher. Deshalb habe ich es hier einfach neu abgeleitet; entschuldigen Sie, wenn sich einige Dinge wiederholen, die Sie bereits wissen, aber vielleicht ist es für alle anderen nützlich, die dies trotzdem lesen.
Die Schwarzschild-Lösung ist die einzigartige nichttriviale kugelsymmetrische Vakuumlösung der Allgemeinen Relativitätstheorie. Im Schwarzschild-Koordinatendiagramm und Einheiten von , nimmt die Metrik die Form an
Einsetzen der obigen Bewegungskonstanten in die zeitähnliche Weltlinienbedingung , dh,
Die Differenzierung des obigen effektiven Potentials ergibt
Walter leitete eine ungefähre Beziehung unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn ab. Goldstein konzentrierte sich auf die Ableitung eines Orbit-Average-Ausdrucks für die Perihel-Präzession. Bei erneuter Prüfung dieser Texte scheint mir, dass GR mehr als nur eine bahngemittelte Annäherung liefert. ... Walter stellt die folgende Gleichung für eine GR-Bahn auf (Schwarzschild-Modell)
Man sieht sofort, dass Walters Gleichung die obige Gleichung zweiter Ordnung ist, nur eben in normalen Einheiten . Ich weiß nicht, was Walters Argument ist (ich bin bereit zu wetten, dass die Annäherung darauf zurückzuführen ist, dass Walter einen Fall mit kreisförmiger Umlaufbahn ersetzt hat oder irgendwo), aber diese spezielle Beziehung gilt genau für massive Testteilchen in der Schwarzschild-Raumzeit. Es muss nicht einmal eine gebundene Umlaufbahn sein, obwohl natürlich, wenn man speziell an der Präzession interessiert ist, sie zumindest gebunden sein müsste, damit die Präzession Sinn macht. Lichtähnliche Geodäten werden durch fast dieselbe Gleichung beschrieben, nur ohne die Begriff.
Darüber hinaus können wir es auch umformulieren als
... also wäre eine alternative, schmackhaftere, entfernungsabhängige Form des Verhältnisses der Beschleunigungen ...: -
Die GR/Schwarzschild-Gleichungen beziehen sich auf die Eigenzeit und den Schwarzschild-Radialabstand, nicht auf ihre Newtonschen Äquivalente, so dass das Verhältnis der Beschleunigungen immer noch eine Annäherung ist.Ist diese Analyse gültig oder habe ich etwas übersehen?
Es ist größtenteils gültig, aber ich möchte Sie bitten, Sie in Bezug auf die Art und Weise, wie Sie das Problem formulieren und das Ergebnis interpretieren, an mehreren Punkten zu warnen, obwohl Sie einige davon wahrscheinlich bereits kennen:
Die Schwarzschild-Radialkoordinate ist kein radialer Abstand. Es könnte ein Flächenradius in dem Sinne genannt werden, dass er gewählt wurde, um eine Konstantenkugel zu bilden haben Fläche von genau , aber normalerweise wird sie einfach als Schwarzschild - Radialkoordinate bezeichnet . Im Schwarzschild-Koordinatendiagramm der radiale Abstand zwischen Schwarzschild-Radialkoordinaten und würde durch gegeben werden
Beschleunigung ist hier ein bisschen ein belastetes Wort. Wenn wir die zweite Ableitung unserer radialen Koordinate nach der Eigenzeit meinen, dann nein, vereinfacht nicht ganz so schön, aber Sie rechnen es trotzdem aus. Wenn wir andererseits die zweite Ableitung der inversen radialen Koordinate in Bezug auf den Azimutwinkel meinen, dann ja, das obige ist richtig.
Aber dann macht es doch keinen Sinn, es eigentlich „Beschleunigung“ zu nennen, oder? Dies erklärt (wenn Ihre vorherige Frage in dieser Formulierung korrekt war), warum Walter einen vageren Begriff von „Effekten“ verwendet, wenn er über das obige Verhältnis spricht.
Stattdessen (erneut unter Verwendung der absichtlichen Verschmelzung zwischen , und ihre Newtonschen Gegenstücke als Annäherung oder Analogie), wäre es wahrscheinlich besser, sich die Schwarzschild-Geometrie einfach so vorzustellen, dass sie einen neuen Term in das Potential einführt, der analog zu einem Quadrupolmoment ist, was auch a setzen würde Term in das Potential, wobei die entsprechende Newtonsche Gleichung ist
Das ist eigentlich ziemlich interessant: Wenn man davon ausgeht, dass die Sonne tatsächlich ein Quadrupolmoment hat, zB verursacht durch die Sonnenabplattung, dann kann man den Perihelvorschub des Merkur leicht erklären. Da dies jedoch nur eine Analogie ist, würde das Verhalten von Merkur darauf verantwortlich gemacht werden, gleichzeitig das Verhalten anderer Planeten durcheinander bringen (da der neue Begriff vom Bahndrehimpuls abhängt) und für Umlaufbahnen außerhalb der Äquatorebene noch inkonsistenter sein (da die tatsächliche Abflachung sollte haben, dass der Quadrupol-Term vom Zenitwinkel abhängt, während dies bei GTRs nicht der Fall ist).
Es ist auch möglich, sich die Schwarzschild-Geometrie selbst als Skalarfeld vorzustellen, das wir auf ähnliche Weise in sphärische harmonische Komponenten zerlegen können. Natürlich ist diese Besonderheit, wie die meisten der oben genannten, spezifisch für die Schönheit des kugelsymmetrischen Vakuums.
Ein alternativer Ausdruck für die zusätzliche (supra-newtonsche, relativistische) Beschleunigung (auf die mich der Benutzer /u/uhoh aufmerksam gemacht hat) wird von Shahid-Saless (Colorado) und Yeomans (JPL) in ihrem Artikel im Astronomical Journal von 1994 vorgestellt: Relativistic Effects über die Bewegung von Asteroiden und Kometen .
Ihre Gleichung 3.11 für die Newtonsche + relativistische Beschleunigung eines einzelnen Zielkörpers, der die Sonne umkreist, lautet wie folgt:-
ist der momentane Positionsvektor des Zielkörpers relativ zur Sonne,
ist der momentane Geschwindigkeitsvektor des Zielkörpers relativ zur Sonne,
ist die Lichtgeschwindigkeit,
ist der Schwartzschild-Gravitationsradius der Sonne,
ist die universelle Gravitationskonstante,
ist die (postnewtonsche) Masse der Sonne,
Der erste Term auf der rechten Seite ist die Newtonsche Radialbeschleunigung, wobei das negative Vorzeichen die Beschleunigung in Richtung der Quelle anzeigt.
Die Autoren stellen eine Ableitung der Gleichung vor (die mein Fachwissen übersteigt). Sie verwenden es auch, um einen Ausdruck für abzuleiten der Betrag (in Radianten) der Drehung der Apsidenlinie pro vollständigem ( Radianten) Orbitalumdrehung:-
wo ist die große Halbachse der Umlaufbahn, ist Exzentrizität der Umlaufbahn, und ist die Umlaufzeit.
Die Version ganz rechts ist identisch mit der Einstein - Gleichung von 1915, die in der Frage präsentiert wird.
Es ist bemerkenswert, dass die Gleichung 3.11 von Shahid-Saless & Yeomans das Wann anzeigt steht nicht senkrecht dazu ein Teil der nicht-Newtonschen Beschleunigung wird in die Richtung quer zur radialen Richtung gerichtet.
Beachten Sie, dass beim Wechsel zwischen einem allgemein relativistischen Modell der Raumzeit und einem euklidisch-galileischen Modell Einschränkungen gelten - siehe Stan Lious Antwort und das Papier von Shahid-Saless & Yeomans selbst.
steveOw
Stan Liou
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Stan Liou
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Stan Liou
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Stan Liou
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