Wie findet man die Spannung an einem Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 und t = unendlich?

Hinweise:

Das Spannungs-Strom-Verhalten eines Kondensators wird bestimmt durch:

$$\begin{equation} I = C \frac{dV_c}{dt} \end{equation}$$

Bei$t = 0$: Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie in der Grenze als integrieren$dt \rightarrow 0$(dh was kann ein Kondensator in Bezug auf wirklich schnelle Transienten nicht tun?)

$$\begin{equation} \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \int_{0^-}^{\delta} I dt = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} C \int_{0^-}^{\delta} \frac{d V_c}{dt} dt \end{equation}$$ Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht impliziert $I(0^+) = 0$; Es bietet nur eine mathematisch "schwache" Garantie, dass sich sein Integral nicht über das Infinitesimal ändert.

Bei$t \rightarrow \infty$, denken Sie daran, was passiert, wenn alles vorübergehende Verhalten verschwindet ($\frac{d <value>}{dt} = 0$).

Das Wichtigste, was hier zu verstehen ist, ist, dass sich die Spannung an einem Kondensator nicht sofort ändern kann. Sie wissen, dass es einen exponentiellen Abfall geben wird. Das heißt, Sie können die Lösung in drei Schritte unterteilen:

1. DC-Kreisanalyse vor dem Schaltereignis (Ausgangszustand)
2. DC-Kreisanalyse lange Zeit nach dem Schaltereignis (Endzustand)
3. Bestimmung der Abklinggeschwindigkeit (Zeitkonstante)

Die Schritte 1 und 2 beantworten die Teile a, b und d Ihres Problems sowie die zweite Hälfte von c. Alle drei Schritte sind erforderlich, um die erste Hälfte von c zu beantworten.

1) Im Moment des Einschaltens sieht der [entladene] Kondensator wie ein Kurzschluss aus. Wie hoch ist die Spannung bei einem Kurzschluss?

2) Wenn der Kondensator vollständig aufgeladen ist, sieht es aus wie ein offener Stromkreis. Wie hoch ist die Spannung an einem offenen Stromkreis?

Für ein vereinfachtes Format (ohne Kalkül) finden Sie zuerst die Zeitkonstante RC der Schaltung, die auch als "Tau" bekannt ist. Verwenden wir dies als "t", also ist t=RC. Mit t in Sekunden.

Sobald Sie t kennen, kann die Spannung an C leichter berechnet werden. Die Spannung an C ändert sich nach jeder t-Zeitspanne um 63 % der angelegten Spannung (angelegt an RC). Dies funktioniert zum Laden oder Entladen. (Beim Entladen könnte man sagen, dass die Spannung bei 37 % liegt, dies entspricht jedoch einer Abnahme um 63 %.)

Wenn beispielsweise t = 1 Sekunde ist und die an RC angelegte verfügbare Spannung 10 V DC beträgt, beträgt die Spannung an C nach 1 Sekunde 6,3 V. Dann würde C in der nächsten 1 Sekunde weiter auf 6,3 + 63 % der verbleibenden Spannungsdifferenz aufladen. In diesem Fall (6,3 + (10-6,3) x 63 %)). In dieser Form könnte man argumentieren, dass die Spannung an C niemals vollständig 10 V erreichen wird.

Um etwas genauer zu sein, könnten Sie 63,2 % verwenden.

Hier ist eine Wiki-Referenz für die RC-Zeitkonstante: http://en.wikipedia.org/wiki/RC_time_constant

Die Spannung über einem Kondensator kann sich nicht sofort ändern, also:

$$V_0(0^-)=0 \Longrightarrow V_c(0^-)=V_c(0^+)=0 \ \therefore \ V_c(0)=0V$$

Sie können den folgenden diff schreiben. Gleichung für andere Werte von Vc:

$$R3.C\frac {dV_c}{dt}+V_c=V_0$$

Lösung dieser linearen Differenz erster Ordnung. Gleichung ergibt:

$$V_c(t)=1+ke^{-t/C}$$

Wenn Sie den Anfangswert verwenden, finden Sie$k=-1$Und$t \rightarrow \infty \Longrightarrow V_c=1V$.

Die Kondensatorspannung kann sich nicht sofort ändern, da dies unendlichen Strom erfordern würde. Daher ist die Kondensatorspannung bei T = 0 gleich wie kurz vor T = 0.

Bei T = ∞ wird angenommen, dass sich alles im stationären Zustand befindet. Wenn der Stromkreis ein reiner Gleichstrom ist, fließt kein Strom durch einen Kondensator, und Sie können alle Kappen durch offene Stromkreise ersetzen, um die Spannungen des Stromkreises zu ermitteln.