Kann es eine energetisch unbeschränkte Drei-Körper-Umlaufbahn geben, bei der ein Entkommen aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses unmöglich ist?

Diese Frage entstand aus einer Diskussion unter dieser Antwort , die (unter anderem) erklärt, dass die Gesamtenergie eines Systems Einblick in die Möglichkeit bietet, dass ein (oder alle) Mitglieder "entkommen".

Die Gesamtenergie wäre die Summe aus kinetischer und potentieller Energie

E = ∑ ich = 1 3 1 2 M ich v ich 2 − ∑ ich = 1 3 ∑ J > ich 3 M ich M J R ich J .

Kann es eine Drei-Körper-Umlaufbahn geben, die energetisch unbegrenzt ist ( E > 0 ), aber wo es immer noch unmöglich ist, dass eines der Objekte aufgrund der Drehimpulserhaltung entkommen kann ?

Eventuell hilfreich: Bewegungsgleichungen für das n-Körper-Problem

Anmerkungen:

  1. Ich frage nicht, ob es geschlossene und periodische Umlaufbahnen gibt, bei denen ein Entkommen aus diesem Grund unmöglich ist.
  2. Ich habe keinen Ausdruck für den Drehimpuls geschrieben, weil es Flexibilität gibt, an welchem ​​Punkt er berechnet wird.

Batominovskis Klarstellung zur Prämie (wie von Angela Pretorius in einem Kommentar erwähnt). Die Energie sollte in Bezug auf den Schwerpunktrahmen des Systems gemessen werden. Das heißt, die Bedingung

∑ ich = 1 3 M ich v ich = 0
wird durchgesetzt.

† Basierend auf Kommentaren hier und meinem Verdacht, den ich korrigiert habe ich ≠ J Zu ich > J für den potentiellen Energieterm, um Doppelzählungen zu vermeiden.

In Bezug auf den obigen Link denke ich, dass Ihr Beitrag hier in Ordnung ist, obwohl ich glaube, dass Sie möglicherweise eine schnellere Antwort erhalten, wenn Sie im Physikforum posten.
@WETutorialSchool danke, ich suche nach einer endgültigen Antwort, also ist Schnelligkeit nicht so wichtig.
Als ich an einer frühen Version dieses Projekts beteiligt war, lernte ich ein wenig über die Unterschiede zwischen quasiperiodischen, chaotischen und ergodischen Umlaufbahnen in verschiedenen Potentialen, um Teilchen zu beschreiben, die genug Energie haben, um aus einer Falle zu entkommen, aber nicht t aus irgendeinem symmetriebezogenen Grund. Könnte ein nützlicher Suchbegriff sein.
@rob Gerade als ich dachte, ich würde mich niederlassen und heute etwas Arbeit erledigen, gehst du und zeigst mir etwas Glänzendes :-)
Mein Vorschlag ist, die Frage bei Mathoverflow zu posten.
Es scheint unwahrscheinlich, denn wenn eine Masse sehr weit entfernt ist, können Sie ihr einen großen Drehimpuls geben, indem Sie ihr eine winzige Tangentialgeschwindigkeit geben, die die anderen Erhaltungssätze nicht wesentlich beeinflussen würde.
@MoisheKohan Ich bin auf jeden Fall offen dafür, dass es dorthin migriert wird, wenn es die Änderungen einer endgültigen Antwort verbessert.
Stellen Sie einfach eine Frage bei MO und geben Sie einen Link zum MSE-Beitrag an.
@MoisheKohan Ich verstehe, aber ich fühle mich unwohl beim Cross-Posting, von dem ohne besondere Umstände und den Segen eines Moderators dringend abgeraten wird.
@uhoh: Cross-Posting ist in Ordnung, solange Sie in MO klar angeben, dass dies ein Cross-Post ist, und einen Link zur MSE-Frage angeben. Es ist mir in der Vergangenheit passiert: Ich habe zuerst eine Frage zu MSE gestellt, dann zu MO; Sie wurde gut aufgenommen, stellte sich jedoch als Duplikat einer früheren MO-Frage heraus, weshalb sie aus diesem Grund geschlossen wurde.
Ich sollte darauf hinweisen, dass die kinetische Energie eines Systems sehr hoch gemacht werden kann, indem man den Bezugsrahmen ändert. Es gibt energetisch unbegrenzte Systeme, die einander nicht entkommen , aber ich denke, Sie fragen sich wirklich, ob es energetisch unbegrenzte Systeme gibt, die nicht von einem Punkt entkommen, der im gewählten Bezugsrahmen eine Geschwindigkeit von Null hat.
@Batominovski danke für deine Hilfe und das Hinzufügen des +200Kopfgeldes, was beides zu erhöhter Aufmerksamkeit führte. Es gibt noch keine abschließende Antwort, aber ich hoffe, dass irgendwann etwas herauskommt.
Ich habe dafür gestimmt, dies als unklar zu schließen. Denn es ist mir nicht klar, was als Antwort gelten würde. Eine gegebene Konfiguration führt entweder zu einem Escape oder nicht. Was hat das mit der Erhaltung des Drehimpulses zu tun? Was ja auch eine Folge der Bewegungsgleichungen ist.
@JyrkiLahtonen Einige Konfigurationen führen nicht zu einer Flucht, weil sie energetisch nicht in der Lage sind, andere nicht, weil sie geschlossen sind. Das sind wichtige und interessante Unterscheidungen, obwohl beide Folgen der Bewegungsgleichungen sind. Warum würden Sie speziell den Drehimpuls diskriminieren und nicht diese beiden anderen Gründe? Vielen Dank für Ihren Kommentar, aber ich verstehe nicht, warum Sie Schritte unternehmen sollten, um andere daran zu hindern , meine und vielleicht auch Ihre Frage zu beantworten.
Der Grund, warum ich protestiere, ist, dass Sie nicht klarstellen, was es bedeutet, dass "kein Entkommen" auf die Erhaltung des Drehimpulses zurückzuführen ist. Wie hoffen Sie, die Implikation "Erhaltung des Drehimpulses" zu erreichen? ⟹ "kein Entkommen"? Oder mit anderen Worten: Wie können wir angesichts einer nicht entkommenden Anfangskonfiguration entscheiden, dass das Nichtentweichen speziell auf die Erhaltung des Drehimpulses zurückzuführen ist? Vor allem, weil der Drehimpuls in allen Konfigurationen erhalten bleibt - Flucht oder nicht.
@JyrkiLahtonen okay, danke für die Klarstellung! Es ist möglich, dass dies bereits gezeigt wurde, und eine Antwort auf meine Frage könnte eine solche Quelle zitieren, aus der ich erfahren könnte, wie dies argumentiert wurde. Ich weiß nicht, ob dies möglich ist oder nicht, was meine Motivation ist, die Frage zu stellen. Ich weiß Ihre Kommentare zu schätzen, aber ich weiß nicht, wie ich Ihre enge Abstimmung ansprechen soll. Ich bin nicht in der Lage, dies zu beantworten, um zu zeigen, wie es beantwortet werden kann.
@JyrkiLahtonen Wenn Sie sicher sind, dass es weder eine Ja- noch eine Nein-Antwort geben kann, weil die Frage mathematisch keinen Sinn ergibt, dann ist das vielleicht die Antwort auf meine Frage! Wenn Sie eine Antwort als solche posten und sie von anderen gut aufgenommen wird, klicke ich vielleicht sogar auf „Akzeptieren“ und wir alle haben davon profitiert. Aber wenn Sie sich nicht sicher sind, warum sollten Sie dann andere daran hindern, zu antworten?
Vielleicht suchen Sie nach einer Konfiguration, bei der es ein elegantes Argument zur Erhaltung des Drehimpulses gibt, das zu dem Schluss führt, dass es niemals zu Fluchten kommen wird? Das wäre die Art von Frage, bei der "wir wissen, dass dies eine Antwort ist, wenn wir sie sehen", aber es gäbe keine Möglichkeit zu beweisen, dass eine solche Konfiguration nicht existiert, es sei denn, die Spielregeln sind sehr präzise formuliert. Ich kratze mich am Kopf. Ich werde nicht traurig sein, wenn diese Frage der Schließung entgeht. Aber ich bin mir nicht sicher, ob es hier gut passt.

Antworten (1)

Die Antwort ist nein ... Die Erhaltung des Drehimpulses an sich kann nicht verwendet werden, um die Beschränktheit eines 3-Körper-Systems mit positiver Gesamtenergie zu beweisen (in dem Rahmen, in dem der Schwerpunkt am Ursprung stationär ist). Für ausreichend groß T haben alle entkommenden Körper (es müssen mindestens 2 sein) im Wesentlichen feste Geschwindigkeiten v ich und sich linear entwickelnde Positionen X ich + T v ich . Der Gesamtdrehimpuls ist ∑ ich ( X ich + T v ich ) × M ich v ich = ∑ ich M ich X ich × v ich , ebenfalls eine Konstante. Beachten Sie jedoch, dass der Drehimpuls auf einen beliebigen Wert geändert werden kann, ohne die Gesamtenergie, den Gesamtimpuls oder den Massenschwerpunkt zu ändern, indem Sie entsprechende Offsets hinzufügen X ich . (Das Festhalten des Massenmittelpunkts erlegt diesen Offsets eine Vektorbeschränkung auf; da mindestens zwei Körper entkommen, bleibt mindestens ein Vektorfreiheitsgrad übrig.)

Kurz gesagt, die Erhaltung des Drehimpulses hilft Ihnen nicht weiter, da jedes "Fluchtszenario" zu einer Äquivalenzklasse von Szenarien gehört (mit derselben Gesamtenergie und demselben Impuls), die sich nur in ihren Drehimpulsen unterscheiden.

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie dieser Beitrag die Frage beantwortet. Könnten Sie bitte näher darauf eingehen? Dieser Beitrag scheint nur zu beweisen, dass bei mindestens zwei entkommenden Körpern der Gesamtdrehimpuls beliebig geändert werden kann, ohne die Gesamtenergie zu ändern E . Die Frage ist, ob es ein beschränktes System mit totaler Energie gibt E > 0 das ist wegen der Drehimpulserhaltung beschränkt.
@Batominovski Es ist mir unklar, was der Ausdruck begrenzt bedeutet, weil der Drehimpuls erhalten bleibt . Insbesondere zum Beweis der Negation. Logischerweise könnte eine Antwort ein Szenario sein, in dem eine Flucht möglich ist, wenn wir das Gesetz der Drehimpulserhaltung verletzen, aber ich bezweifle, dass dies die beabsichtigte Bedeutung ist :-)
(Fortsetzung) Ich meine, ein Drei-Körper-System verhält sich deterministisch unter der Newtonschen Mechanik. Also wird es entweder eine Flucht geben oder nicht. Was hat das mit der Drehimpulserhaltung zu tun , die , IIRC, eine Folge bestimmter Symmetrien in der Newtonschen Mechanik ist?
@Jyrki Lahtonen, "entweder es wird eine Flucht geben oder nicht" : Ob es eine Flucht geben wird oder nicht und unter welchen Umständen oder Annahmen dies geschieht, kann im Allgemeinen ein sehr heikles und interessantes mathematisches Problem sein, in verschiedenen Unterschieden Einstellungen. Meines Erachtens ist die Frage also sehr interessant und eine Frage, die sich natürlich an Mathematiker richtet. Ich bezweifle, dass physical.stackexchange ein guter Ort wäre, um dies zu fragen und eine konkrete Antwort zu erhalten: Physiker, die solche Fragen beantworten können, sind eigentlich Mathematiker.
@KonKan Ich bin mir (bis zu einem gewissen Grad) der Feinheiten bewusst. Und chaotische Natur von 3 Körpersystemen. Ich mache mir mehr Sorgen darüber, wie der Fragesteller entscheiden könnte, dass ein bestimmtes Beispiel speziell "aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses" funktioniert. Ich stimme zu, dass das Problem mathematisch sehr herausfordernd ist, aber die Bedeutung der Frage ist nicht klar.
Kann es eine energetisch unbeschränkte Drei-Körper-Umlaufbahn geben, bei der ein Entkommen aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses unmöglich ist?
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