Warum ist das ausgeschlossene Volumen das 4-fache des Volumens des Gasmoleküls in van der Waals Volumenkorrektur der idealen Gasgleichung? [geschlossen]

Stellen Sie sich ein Mol Gas vor, das aus nicht wechselwirkenden Punktteilchen besteht, die das ideale Gasgesetz erfüllen:

$$p=\frac{RT}{V_{m}}=\frac{RT}{v}$$

Nehmen Sie als Nächstes an, dass alle Teilchen harte Kugeln mit demselben endlichen Radius r (dem Van-der-Waals-Radius) sind. Die Wirkung des endlichen Volumens der Partikel besteht darin, den verfügbaren Hohlraum zu verringern, in dem sich die Partikel frei bewegen können. Wir müssen ersetzen$V$von$V − b$, Wo$b$wird das ausgeschlossene Volumen oder "Co-Volumen" genannt. Die korrigierte Gleichung wird:

$$p=\frac{RT}{V_{m}-b}$$

Das ausgeschlossene Volumen$b$ist nicht nur gleich dem Volumen, das von den festen Teilchen endlicher Größe eingenommen wird, sondern tatsächlich viermal so groß. Um dies zu sehen, müssen wir uns darüber im Klaren sein, dass ein Teilchen von einer Kugel mit Radius umgeben ist$2r$(zweimal der ursprüngliche Radius), der für die Zentren der anderen Teilchen verboten ist. Wäre der Abstand zwischen zwei Teilchenzentren kleiner als$2r$, würde dies bedeuten, dass sich die beiden Teilchen gegenseitig durchdringen, was harte Kugeln per definitionem nicht können.

Das ausgeschlossene Volumen für die beiden Partikel (mit durchschnittlichem Durchmesser$d$oder Radius$r$) Ist:

$$b'_{2}=4\pi\frac{d^{3}}{3}=8\cdot(4\pi r^{3}/3)$$

was geteilt durch zwei (die Anzahl der kollidierenden Teilchen) das ausgeschlossene Volumen pro Teilchen ergibt:

$$b'=b'_{2}/2 \rightarrow b'=4\cdot (4\pi r^{3}/3)$$

So$b′$ist das vierfache Eigenvolumen des Teilchens. Es war van der Waals ein Anliegen, dass der Faktor vier eine Obergrenze ergibt; Erfahrungswerte für$b′$sind in der Regel niedriger. Natürlich sind Moleküle nicht unendlich hart, da$\textit{van der Waals}$dachte, und sind oft ziemlich weich.

Quelle: Wikipedia