Kann die Allgemeine Relativitätstheorie phasenabhängige Schwankungen der Planetenumlaufbeschleunigung anzeigen?

Da ich Walters Buch nicht habe, bin ich mir als Kontext der Ableitung der von Ihnen zitierten Gleichung unsicher. Deshalb habe ich es hier einfach neu abgeleitet; entschuldigen Sie, wenn sich einige Dinge wiederholen, die Sie bereits wissen, aber vielleicht ist es für alle anderen nützlich, die dies trotzdem lesen.

Bewegungskonstanten

Die Schwarzschild-Lösung ist die einzigartige nichttriviale kugelsymmetrische Vakuumlösung der Allgemeinen Relativitätstheorie. Im Schwarzschild-Koordinatendiagramm und Einheiten von$G = c = 1$, nimmt die Metrik die Form an

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\left(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2\right)\text{,}$$ und man kann sofort feststellen, dass die metrischen Koeffizienten völlig unabhängig von sind $t$und $\phi$, was das impliziert $\partial_t$und $\partial_\phi$sind Killing-Vektorfelder . Sie sind hier wichtig, weil sie neben der Erzeugung von Symmetrien der Geometrie auch erhaltene Bahngrößen auf folgende Weise erzeugen: Bei einer Bahn mit vier Geschwindigkeiten $u^\mu = (\dot{t},\dot{r},\dot{\theta},\dot{\phi})$, bleibt das Skalarprodukt mit einem Killing-Vektorfeld erhalten: $$\epsilon = -\langle\partial_t,u\rangle = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\text{,}$$ $$h = \langle\partial_\phi,u\rangle = r^2\sin^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau}\text{.}$$ Der Überpunkt zeigt die Differenzierung in Bezug auf jeden affinen Parameter der Umlaufbahn an, den wir für zeitähnliche Geodäten, die für massive Teilchen geeignet sind, ohne Verlust der Allgemeinheit als die Eigenzeit annehmen können $\tau$. Eine alternative Möglichkeit, diese Bewegungskonstanten zu finden, besteht darin, die zu integrieren $t$und $\phi$Komponenten der geodätischen Gleichung, sondern können auf diese Weise sofort von der Metrik abgelesen werden. Dies sind die spezifische Energie bzw. der spezifische Drehimpuls der Umlaufbahn. Beachten Sie auch, dass die Koordinaten Analoga der sphärischen Koordinaten für den euklidischen Raum sind, wo $\theta$ist der Zenitwinkel während $\phi$ist der Azimut; wenn wir die Bahnebene als die Äquatorebene nehmen ( $\theta = \pi/2$), dann $\phi$würde die wahre Anomalie darstellen.

Effektives Potenzial

Einsetzen der obigen Bewegungskonstanten in die zeitähnliche Weltlinienbedingung$\langle u,u\rangle \equiv g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$, dh,

$$-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 = -1\text{,}$$ man kann sofort das effektive Gravitationspotential ableiten: $$\frac{1}{2}(\epsilon^2-1) = \frac{1}{2}\dot{r}^2 + \underbrace{\left[-\frac{M}{r}+\frac{h^2}{2r^2} - \frac{Mh^2}{r^3}\right]}_{V_\text{eff}}\text{,}$$ oder wenn man auf einem formalen Vergleich mit dem Newtonschen effektiven Potential ( $L\equiv mh$), $$E = \underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}}_{\text{Newtonian form}} - \frac{GML^2}{mr^3c^2}\text{.}$$

Bahngleichung

Die Differenzierung des obigen effektiven Potentials ergibt

$$\ddot{r} + \frac{M}{r^2} - \frac{h^2}{r^3} + 3\frac{Mh^2}{r^4} = 0\text{.}$$ Bezüglich $u \equiv 1/r$wobei der Strich die Differenzierung in Bezug auf bezeichnet $\phi$, $$u''= \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\dot{u}\right) = \frac{r^2}{h}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{r^2}{h}\left(-r^{-2}\dot{r}\right)\right) = -\frac{\ddot{r}r^2}{h^2}\text{,}$$ dies ergibt nach Multiplikation durch mit $-r^2/h^2$, $$u'' + u = \frac{M}{h^2} + 3Mu^2\text{.}$$ Es besteht jedoch wirklich keine Notwendigkeit, an irgendeiner Stelle eine zweite Ordnung in Betracht zu ziehen; es gibt eine einfachere in Bezug auf $V \equiv V_\text{eff} - h^2/2r^2$, das effektive Potential ohne den Zentrifugalpotentialterm: $$\begin{eqnarray*} \frac{2}{h^2}\left[\frac{E}{m}-V\right] &=& \frac{\dot{r}^2}{h^2} + \frac{1}{r^2} \\&=& \frac{1}{r^4}\left[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right]^2 + u^2 \\&=& (u')^2 + u^2\text{.} \end{eqnarray*}$$

Walter leitete eine ungefähre Beziehung unter der Annahme einer kreisförmigen Umlaufbahn ab. Goldstein konzentrierte sich auf die Ableitung eines Orbit-Average-Ausdrucks für die Perihel-Präzession. Bei erneuter Prüfung dieser Texte scheint mir, dass GR mehr als nur eine bahngemittelte Annäherung liefert. ... Walter stellt die folgende Gleichung für eine GR-Bahn auf (Schwarzschild-Modell)

$$u''_\theta + u_\theta =\frac{\mu}{h^2} + \frac{3\mu}{c^2}\,u_\theta^2$$

Man sieht sofort, dass Walters Gleichung die obige Gleichung zweiter Ordnung ist, nur eben in normalen Einheiten$G = c = 1$. Ich weiß nicht, was Walters Argument ist (ich bin bereit zu wetten, dass die Annäherung darauf zurückzuführen ist, dass Walter einen Fall mit kreisförmiger Umlaufbahn ersetzt hat$L^2$oder$h^2$irgendwo), aber diese spezielle Beziehung gilt genau für massive Testteilchen in der Schwarzschild-Raumzeit. Es muss nicht einmal eine gebundene Umlaufbahn sein, obwohl natürlich, wenn man speziell an der Präzession interessiert ist, sie zumindest gebunden sein müsste, damit die Präzession Sinn macht. Lichtähnliche Geodäten werden durch fast dieselbe Gleichung beschrieben, nur ohne die$M/h^2$Begriff.

Darüber hinaus können wir es auch umformulieren als

$$u'' + u = \frac{M}{h^2}\left[1 + 3\frac{h^2}{r^2}\right] \leadsto \frac{\mu}{h^2}\left[1+3\frac{h^2}{r^2c^2}\right]\text{,}$$ die nach Substitution von $V_t\equiv r\dot{\phi} = h/r$ist, was du hast.

Fazit

... also wäre eine alternative, schmackhaftere, entfernungsabhängige Form des Verhältnisses der Beschleunigungen ...: -

$$1\;\text{to}\;\frac {3 h^2}{c^2 \, r_\theta^2}\text{.}$$ Die GR/Schwarzschild-Gleichungen beziehen sich auf die Eigenzeit und den Schwarzschild-Radialabstand, nicht auf ihre Newtonschen Äquivalente, so dass das Verhältnis der Beschleunigungen immer noch eine Annäherung ist.

Ist diese Analyse gültig oder habe ich etwas übersehen?

Es ist größtenteils gültig, aber ich möchte Sie bitten, Sie in Bezug auf die Art und Weise, wie Sie das Problem formulieren und das Ergebnis interpretieren, an mehreren Punkten zu warnen, obwohl Sie einige davon wahrscheinlich bereits kennen:

1. Die Schwarzschild-Zeitkoordinate$t$ist ganz anders als die richtige Zeit$\tau$. Ersteres ist eine spezielle Koordinate, in der die Schwarzschild-Geometrie zeitunabhängig ist. Es definiert die Weltlinien einer Familie von Beobachtern, die in Bezug auf die Geometrie stationär sind, und seine Skalierung entspricht einem stationären Beobachter im Unendlichen. Andererseits ist die Eigenzeit einfach die Zeit, die entlang einer bestimmten Weltlinie gemessen wird; in diesem Zusammenhang durch das umkreisende Testteilchen.

2. Die Schwarzschild-Radialkoordinate$r$ist kein radialer Abstand. Es könnte ein Flächenradius in dem Sinne genannt werden, dass er gewählt wurde, um eine Konstantenkugel zu bilden$r$haben Fläche von genau$4\pi r^2$, aber normalerweise wird sie einfach als Schwarzschild - Radialkoordinate bezeichnet . Im Schwarzschild-Koordinatendiagramm der radiale Abstand zwischen Schwarzschild-Radialkoordinaten$r = r_0$und$r = r_1$würde durch gegeben werden

   $$D = \int_{r_0}^{r_1}\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}\text{,}$$ und wäre die Entfernung, die man messen würde, wenn man langsam entlang der radialen Richtung kriecht$r = r_0$zu$r = r_1$mit einem idealen Meterstab, an der Grenze der Geschwindigkeit Null. Natürlich,$r$könnte in entsprechenden Kontexten als Annäherung an den radialen Abstand dienen, aber der Punkt ist, dass dies nicht nur der Fall ist$r$nicht der Newtonsche radiale Abstand ist, ist es auch nicht wirklich der 'Schwarzschild-radiale Abstand '.

3. Beschleunigung ist hier ein bisschen ein belastetes Wort. Wenn wir die zweite Ableitung unserer radialen Koordinate nach der Eigenzeit meinen, dann nein,$\ddot{r}_\text{GTR}/\ddot{r}_\text{Newtonian}$vereinfacht nicht ganz so schön, aber Sie rechnen es trotzdem aus. Wenn wir andererseits die zweite Ableitung der inversen radialen Koordinate in Bezug auf den Azimutwinkel meinen, dann ja, das obige ist richtig.

Aber dann macht es doch keinen Sinn, es eigentlich „Beschleunigung“ zu nennen, oder? Dies erklärt (wenn Ihre vorherige Frage in dieser Formulierung korrekt war), warum Walter einen vageren Begriff von „Effekten“ verwendet, wenn er über das obige Verhältnis spricht.

Stattdessen (erneut unter Verwendung der absichtlichen Verschmelzung zwischen$r$,$\tau$und ihre Newtonschen Gegenstücke als Annäherung oder Analogie), wäre es wahrscheinlich besser, sich die Schwarzschild-Geometrie einfach so vorzustellen, dass sie einen neuen Term in das Potential einführt, der analog zu einem Quadrupolmoment ist, was auch a setzen würde$\propto 1/r^3$Term in das Potential, wobei die entsprechende Newtonsche Gleichung ist

$$(u')^2 + u^2 = \frac{2}{h^2}\left(\frac{E}{m} - \Phi(u)\right)\text{.}$$ Sowohl das effektive Potential als auch die Gleichung erster Ordnung in $u$bieten eine viel einfachere Analogie zwischen den Newtonschen und den Schwarzschild-Fällen.

Das ist eigentlich ziemlich interessant: Wenn man davon ausgeht, dass die Sonne tatsächlich ein Quadrupolmoment hat, zB verursacht durch die Sonnenabplattung, dann kann man den Perihelvorschub des Merkur leicht erklären. Da dies jedoch nur eine Analogie ist, würde das Verhalten von Merkur darauf verantwortlich gemacht werden, gleichzeitig das Verhalten anderer Planeten durcheinander bringen (da der neue Begriff vom Bahndrehimpuls abhängt) und für Umlaufbahnen außerhalb der Äquatorebene noch inkonsistenter sein (da die tatsächliche Abflachung sollte haben, dass der Quadrupol-Term vom Zenitwinkel abhängt, während dies bei GTRs nicht der Fall ist).

Es ist auch möglich, sich die Schwarzschild-Geometrie selbst als Skalarfeld vorzustellen, das wir auf ähnliche Weise in sphärische harmonische Komponenten zerlegen können. Natürlich ist diese Besonderheit, wie die meisten der oben genannten, spezifisch für die Schönheit des kugelsymmetrischen Vakuums.

Ein alternativer Ausdruck für die zusätzliche (supra-newtonsche, relativistische) Beschleunigung (auf die mich der Benutzer /u/uhoh aufmerksam gemacht hat) wird von Shahid-Saless (Colorado) und Yeomans (JPL) in ihrem Artikel im Astronomical Journal von 1994 vorgestellt: Relativistic Effects über die Bewegung von Asteroiden und Kometen .

Ihre Gleichung 3.11 für die Newtonsche + relativistische Beschleunigung eines einzelnen Zielkörpers, der die Sonne umkreist, lautet wie folgt:-

$$\frac{d^2 \textbf{r}}{c^2dt^2} = \frac{-\mu}{r^3}\textbf{r} + \frac{\mu}{r^3} \left[ \left(4\frac{\mu}{r}-\frac{v^2}{c^2}\right)\textbf{r} + 4 \frac{(\textbf{r}\textbf{.v})\textbf{v}}{c^2}\right]$$ wo

$\textbf{r}$ist der momentane Positionsvektor des Zielkörpers relativ zur Sonne,

$\textbf{v}$ist der momentane Geschwindigkeitsvektor des Zielkörpers relativ zur Sonne,

$c$ist die Lichtgeschwindigkeit,

$\mu = GM/c^2$ist der Schwartzschild-Gravitationsradius der Sonne,

$G$ist die universelle Gravitationskonstante,

$M$ist die (postnewtonsche) Masse der Sonne,

$\frac{-\mu}{r^3}$Der erste Term auf der rechten Seite ist die Newtonsche Radialbeschleunigung, wobei das negative Vorzeichen die Beschleunigung in Richtung der Quelle anzeigt.

Die Autoren stellen eine Ableitung der Gleichung vor (die mein Fachwissen übersteigt). Sie verwenden es auch, um einen Ausdruck für abzuleiten$\delta \omega$der Betrag (in Radianten) der Drehung der Apsidenlinie pro vollständigem ($2\pi$Radianten) Orbitalumdrehung:-

$$\delta\omega = \frac{6\pi\mu}{a(1-e^2)} \equiv \frac{6\pi GM}{c^2 a(1-e^2)} \equiv \frac{24\pi^3 a^2}{T^2c^2 (1-e^2)}$$

wo$a$ist die große Halbachse der Umlaufbahn,$e$ist Exzentrizität der Umlaufbahn, und$T$ist die Umlaufzeit.

Die Version ganz rechts ist identisch mit der Einstein - Gleichung von 1915, die in der Frage präsentiert wird.

Es ist bemerkenswert, dass die Gleichung 3.11 von Shahid-Saless & Yeomans das Wann anzeigt$\textbf{v}$steht nicht senkrecht dazu$\textbf{r}$ein Teil der nicht-Newtonschen Beschleunigung wird in die Richtung quer zur radialen Richtung gerichtet.

Beachten Sie, dass beim Wechsel zwischen einem allgemein relativistischen Modell der Raumzeit und einem euklidisch-galileischen Modell Einschränkungen gelten - siehe Stan Lious Antwort und das Papier von Shahid-Saless & Yeomans selbst.