Berechnen Sie die scheinbare visuelle Größe des Planeten

Nehmen wir an, wir haben es mit einem überlegenen Planeten zu tun, das heißt, der Planet umkreist in größerer Entfernung als die Erde. Dies stellt effektiv sicher, dass es keine planetare Phase gibt, mit der man sich befassen muss.

Nun hat die Sonne eine Leuchtkraft von$L_{sun}$so dass der Sonnenfluss, wie er vom Planeten aus gesehen wird, ist

$$f_{planet} = \frac{ L_{sun} }{ 4 \pi d_s^2 }.$$

Der Querschnitt des Planeten beträgt ca$A = \pi r_p^2$, also für eine gegebene Albedo$a_p$die reflektierende Leuchtkraft des Planeten wird sein

$$\begin{aligned} L_{planet} &= a_p f_{planet} A \\ &= a_p \pi r_p^2 \frac{ L_{sun} }{ 4 \pi d_s^2 }. \end{aligned}$$

Da wir die absolute Größe der Sonne kennen, folgt die absolute Größe des Planeten wie folgt

$$\begin{aligned} V_{planet} &= -2.5 \log_{10}\left[ \frac{ L_{planet} }{ L_{sun} } \right] - V_{sun} \\ &= -2.5 \log_{10}\left[ a_p \frac{ r_p^2 }{ 4 d_s^2 } \right] - V_{sun} \end{aligned}$$

Die scheinbare Helligkeit des Planeten von der Erde aus gesehen kann dann berechnet werden als

$$m_{planet} = V_{planet} + 5 \log_{10}\left[ d_{e-p} \right] - 5$$ wo die Entfernung zwischen der Erde und dem Planeten,$d_{e-p}$, sollte in Parsec sein und hängt natürlich von der Umlaufphase der beiden jeweiligen Planeten ab.

Der einzige zusätzliche erforderliche Parameter war also die Sonnenleuchtkraft. Es gibt wahrscheinlich eine Reihe subtiler Effekte mit der Albedo und der Geometrie des Systems, die hier nicht berücksichtigt werden, aber es sollte eine gute Annäherung sein.

Die Größe der Planeten variiert nicht nur nach der Leuchtkraft der Sonne, ihrer eigenen durchschnittlichen Albedo und ihrer Entfernung von der Erde, sondern auch nach:

• Variationen in ihrer Albedo über ihre Oberfläche.
• Ihr Phasenwinkel für Planeten, die wir manchmal als Sichel sehen.
• Ihre Neigung für Planeten wie Saturn und Uranus, die an ihrem Äquator eine andere Albedo haben als an ihren Polen.
• Neptun wird immer heller. Niemand weiß warum.

Alle diese Effekte werden in einem informativen Artikel Computing Apparent Planetary Magnitudes for The Astronomical Almanac von Mallama und Hilton, überarbeitet 2018, detailliert beschrieben:

https://arxiv.org/pdf/1808.01973.pdf

Ihr Quellcode zur Berechnung der planetaren Magnituden angesichts all dieser Effekte kann hier gefunden werden:

https://sourceforge.net/projects/planetary-magnitudes/

Wenn Sie korrekte Werte wünschen, müssen Sie die in der Antwort von Brandon Rhodes erwähnten Effekte berücksichtigen. Trotzdem, hier ist, wie man eine Quick-and-Dirty-Berechnung durchführt.

Die absolute Helligkeit eines Planeten ist definiert als die scheinbare Helligkeit, wenn die Entfernungen Sonne-Planet und Planet-Beobachter 1 AE betragen, in Opposition.

Unter Annahme eines diffusen Scheibenreflektormodells die absolute Größe$H$eines Planeten mit Durchmesser$D_{\rm p}$wird von gegeben

$$H = 5 \log_{10} \left( \frac{D_0}{D_{\rm p} \sqrt{a_p}} \right)$$

Woher$a_p$ist die geometrische Albedo des Planeten und$D_0$wird von gegeben

$$D_0 = 2\,{\rm au} \times 10^{H_\ast / 5}$$

Woher$H_\ast$ist die bei einer Referenzentfernung von 1 AE definierte absolute Helligkeit, die aus der üblichen absoluten Helligkeit von 10 Parsec berechnet werden kann$M_\ast$wie folgt:

$$H_\ast = M_\ast + 5 \log_{10} \left( \frac{1 \rm \ au}{10 \rm \ pc} \right) \approx M_\ast - 31.57$$

Für die Sonne ergibt sich daraus$D_0 \approx 1329\ \rm km$.

Um die scheinbare Helligkeit des Planeten zu erhalten, können Sie dann verwenden

$$m_{\rm p} = H + 5 \log_{10} \left( \frac{d_{\rm p\ast} d_{\rm po}}{1 \mathrm{\ au}^2} \right) - 2.5 \log_{10} q(\alpha)$$

Woher$d_{\rm p\ast}$ist die Entfernung zwischen dem Planeten und dem Stern,$d_{\rm po}$ist die Entfernung zwischen dem Planeten und dem Beobachter, und$q(\alpha)$ist das Phasenintegral am Phasenwinkel$\alpha$.

Für den diffusen Scheibenreflektor$q(\alpha) = \cos \alpha$. Für eine Lambertsche Sphäre gilt:

$$q(\alpha) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\alpha}{\pi} \right) \cos \alpha + \frac{1}{\pi} \sin \alpha \right)$$

Bei Widerspruch,$\alpha = 0$, was Phasenintegrale von ergibt$q(0) = 1$für die diffuse Scheibe und$q(0) = \tfrac{2}{3}$für die Lambertsche Sphäre.

Reale Planeten haben komplexere Phasenfunktionen, die empirisch bestimmt werden müssen (siehe Antwort von Brandon Rhodes).

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Lassen Sie uns zur schnellen Überprüfung Werte für Jupiter einfügen, die dem Jupiter Fact Sheet der NASA entnommen sind . Bei einem (volumetrischen Mittelwert) Durchmesser von 139.822 km und einer geometrischen Albedo von 0,538 beträgt die berechnete absolute Helligkeit -9,44 gegenüber dem tatsächlichen Wert von -9,40.

Unter Verwendung des berechneten Werts von -9,44, einer Entfernung von Jupiter von 5,204 AE zur Sonne und 4,204 AE zur Erde und unter Verwendung der Lambertschen Sphäre$q(0) = \tfrac{2}{3}$, die scheinbare Helligkeit liegt bei -2,30, während für eine diffuse Scheibe$q(0) = 1$die scheinbare Helligkeit liegt bei -2,74. Das hellste, was der echte Planet bekommt, ist etwa -2,94. Zum Glück fällt der Wert trotz der groben Annäherung an das Reflexionsverhalten realer Planeten in der richtigen Größenordnung aus.

Meine berechneten Werte mit$q(0) = 1$für Saturn , Uranus und Neptun sind 0,54, 5,57 bzw. 7,75, was auch nicht allzu weit von den realen Werten entfernt ist.