Ableitung der Lienard-Wiechert-Potentiale

Die allgemeine Regel (siehe Abschnitt "Komposition mit einer Funktion" des Wikipedia-Artikels über Dirac-Delta-Funktionen ) lautet (für entsprechend gut definierte Funktionen):

$$\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty {\mathrm dx \, f(x)\, \delta(g(x))} = \sum_i {\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|} } \end{equation*}$$

Wo$x_i$sind die Wurzeln von$g(x)$, also ist Ihre "Extraktion" gerechtfertigt.

Eine Möglichkeit, dieses Ergebnis auf die dreidimensionale Delta-Funktion anzuwenden, besteht darin, die Achsen so zu wählen, dass 1) sich das Partikel entlang bewegt$x$-Achse mit Geschwindigkeit$v$zum Zeitpunkt$t_r$(z.B$\boldsymbol{w}(t)=(a+vt,0,0)$nahe Zeit$t_r$) und 2) der Beobachtungspunkt ist bei$\boldsymbol{r}=(0,y,0)$. Dann:

$$\begin{align*} \int {\mathrm dx' \,\mathrm dy' \, \mathrm dz' \, \delta^3} &= \int {\mathrm dx' \, \mathrm dy' \, \mathrm dz' \, \delta \left(x' - a - v(t-|\boldsymbol{r-r'}|/c)\right)\, \delta(y')\, \delta(z')} \\ &= \int {\mathrm dx' \, \mathrm dy' \, \mathrm dz' \, \delta \left(x' - a - vt + (v/c) \sqrt{x'^2 + (y-y')^2 + z'^2} \right) \,\, \delta(y') \, \delta(z')} \\ &= \int {\mathrm dx' \, \delta \left(x' - a - vt + (v/c) \sqrt{x'^2 + y^2} \right)} \\ &= \int {\mathrm dx' \, \frac{\delta \left(x'- (a+vt_r)\right)}{1+\frac{v}{c}\frac{x'}{\sqrt{x'^2+y^2}}}} \\ &= \frac{1}{1-\boldsymbol{\beta \cdot n}} \end{align*}$$

Wo$\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{v}/c$Und$\boldsymbol{n}$ist der Einheitsvektor$\boldsymbol{n}= \frac{\boldsymbol{r-w}}{|\boldsymbol{r-w}|}$, zur Zeit ausgewertet$t_r$.