Volumenladungsdichte in einem unvollkommenen Leiter, der an einen Wechselstromkreis angeschlossen ist

Mein Ziel ist es zu verstehen, ob es einen Quellbegriff geben würde oder nicht$\rho$in der Helmholtz- (oder Poisson-) Gleichung für das skalare elektrische Potential, für den Bereich innerhalb eines Objekts mit endlicher Leitfähigkeit, das an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen ist.

Betrachten Sie ein Objekt mit endlicher Leitfähigkeit$\sigma$, die in irgendeiner Schaltung in Reihe geschaltet ist, einschließlich einer Spannungsquelle. Grundsätzlich darf also Strom an einem Ende des Objekts fließen und am anderen heraus.

Das Objekt ist bei der Betriebsfrequenz elektrisch groß, und elektromagnetische Effekte müssen berücksichtigt werden.

Abhängig von der gewählten Eichbedingung (Coloumb oder Lorenz) erfüllt das skalare Potential innerhalb des Objekts entweder die Poisson- oder die Helmholtz-Gleichung. Nehmen wir eine Lorenz-Eichung an, damit das skalare Potential$\Phi$ innerhalb des Objekts erfüllt

$$\begin{align} \nabla^2\Phi + k^2\Phi = -\dfrac{\rho}{\epsilon} \end{align}$$ Wo$k$Und$\epsilon$sind die Wellenzahl und die Permittivität innerhalb des Objekts.

Ich möchte eine Grenzintegralgleichung für das Innere des Objekts aufstellen, und ich versuche zu verstehen, was genau$\rho$bedeutet hier.

Mein Verständnis ist das$\rho$sollte eine freie Volumenladungsdichte darstellen, die in dem relevanten Raumbereich (in diesem Fall der Masse des Objekts) vorhanden ist.

Für ein isoliertes Objekt mit endlicher Leitfähigkeit$\sigma$, sollten alle überschüssigen freien Ladungen schließlich (gemäß der Relaxationszeitkonstante) ihren Weg an die Oberfläche finden. Im stationären Zustand sollte die Ladungsdichte des freien Volumens im Objekt also Null sein. Deshalb,$\rho=0$in diesem Fall wird die Helmholtz-Gleichung homogen.

Da das Objekt jedoch an einen Stromkreis mit einer Wechselspannungsquelle angeschlossen ist, bin ich mir nicht sicher$\rho=0$gilt nicht mehr. Stattdessen schätze ich, dass wir irgendwie die Kontinuitätsgleichung verwenden müssen,

$$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{J} + j\omega\rho = 0. \end{align}$$ Aber falls$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$, Wo$\mathbf{E}$ist das elektrische Feld, das im Objekt induziert wird, weil es an den Wechselstromkreis angeschlossen ist, dann hätten wir $$\begin{align} \sigma\nabla\cdot\mathbf{E} + j\omega\rho = 0, \end{align}$$ Angenommen, das Objekt ist homogen. Aber aus dem verallgemeinerten Gauß'schen Gesetz können wir dann auch schreiben$\nabla\cdot\mathbf{D} = \epsilon\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho$(Weil$\rho$stellt eine freie Ladungsdichte dar), so dass $$\begin{align} \dfrac{\sigma\rho}{\epsilon} + j\omega\rho = 0, \end{align}$$ was impliziert $$\begin{align} \left(\dfrac{\sigma}{\epsilon} + j\omega\right)\rho = 0. \end{align}$$ Aber das sagt nur, dass im stationären Zustand,$\rho=0$nochmal! Aber wenn das stimmt, dann lautet die Kontinuitätsgleichung $$\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \end{align}$$ was für mich keinen Sinn ergibt - wie ist es möglich, dass der Strom im Objekt unabhängig von der Frequenz oder Permittivität immer divergenzfrei ist?

Die andere Option ist die$\left(\frac{\sigma}{\epsilon} + j\omega\right) = 0$, aber das ergibt für mich auch keinen Sinn, weil$\sigma$,$\epsilon$Und$\omega$kann alles sein (es sei denn, die$\omega$hier nicht gleich der zyklischen Ansteuerfrequenz der Spannungsquelle?).

Ich bin mir auch nicht sicher, ob mir ein eingeprägter Strom fehlt, der von der Schaltung geliefert wird. Aber durch die Kontinuität der normalen Komponente des Stroms würde ich das denken$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$berücksichtigt den durch die Schaltung in das Objekt eingebrachten Strom?

Ich glaube, ich übersehe hier etwas Grundlegendes oder verwechsle einige grundlegende Konzepte fürchterlich. Wo genau liege ich falsch?

Danke schön!