Von Liénard-Wiechert bis Feynman Potenzialausdruck

Lassen Sie die folgenden Symbole für eine allgemeine krummlinige Bewegung der Ladung$\:q$, siehe Abbildung-01.

$$\begin{align} \mathbf{r} & \equiv [\text{position 3-vector of field point}\: \mathrm A] =\left(x,y,z\right) \tag{01a}\\ \mathbf{x}\left(t\right) & \equiv [\text{equation of motion of charge}\: q] \tag{01b}\\ \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right) & \equiv [\text{velocity vector of charge}\: q]=\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm d t} \tag{01c}\\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}} & \equiv [\text{retarded position of charge}\: q]=\mathbf{x}\left(t^{\boldsymbol{*}}\right) \tag{01d}\\ t^{\boldsymbol{*}} & \equiv [\text{retarded time of charge}\:q] =t-\dfrac{\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert}{c} \tag{01e}\\ \boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{*}} & \equiv [\text{velocity vector at retarded time }\: t^{\boldsymbol{*}}]=\boldsymbol{\upsilon}\left(t^{\boldsymbol{*}}\right) \tag{01f} \end{align}$$ Für gegebene Bewegungsgleichung $\:\mathbf{x}\left(t\right)\:$die Verzögerungsgrößen Position und Zeit sind Funktionen des Feldpunkt-Positionsvektors $\:\mathbf{r}\:$und Gegenwart $\:t$: $$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}} & = \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\!\left(\mathbf{r},t\right) \tag{02a}\\ t^{\boldsymbol{*}}& = \, t^{\boldsymbol{*}}\!\left(\mathbf{r},t\right) \tag{02b} \end{align}$$ Immer haben wir ein solches Paar verzögerter Mengen, wenn die Ladung $\:q\:$existiert weit in der Vergangenheit von der Gegenwart $\:t$. Außerdem ist dieses Paar einzigartig (diese Schlussfolgerungen fallen unter die Ableitung der Lienard-Wiechert-Potentiale).

Mit diesen Symbolen das Lienard-Wiechert-Skalarpotential am Feldpunkt$\:\mathrm A\:$ist

$$\begin{equation} \phi(\mathbf r, t)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert - \dfrac{\:\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{*}}}{c}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)} \tag{03} \end{equation}$$ Was wir tun müssen, ist zu beweisen, dass diese Gleichung im Falle einer sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Ladung gilt $\:\boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\boldsymbol{\upsilon}=\textbf{constant}\:$ist die Lorentz-Gleichung $$\begin{equation} \phi(\mathbf{r},t) = \dfrac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{1}{\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^2+z^2}} \tag{04} \end{equation}$$ Dies wird erreicht, wenn wir die verzögerten Größen aus (03) eliminieren, indem wir sie als Funktionen der gegenwärtigen Größen ausdrücken. Genauer gesagt müssen wir den Vektor finden $\:\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)\:$und seine Norm $\:\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert\:$und ersetzen Sie sie im Nenner der rechten Seite von (03).

Also aus dem Dreieck$\:\mathrm{Q^{\boldsymbol{*}}QA}\:$, Abbildung-01, haben wir für den allgemeinen Fall

$$\begin{equation} \left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)=\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)+\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right) \tag{05} \end{equation}$$ Also $$\begin{equation} \left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert^{2}=\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}\right\Vert^{2}+\left\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert^{2}+2\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right) \tag{06} \end{equation}$$

Nun, nach der Bedeutung der verzögerten Position und Zeit, wenn die Ladung ein Lichtsignal aussendet, Geschwindigkeit$\:c$, aus der verzögerten Position$\: \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}$(Punkt$\:\mathrm{Q^{\boldsymbol{*}}}$) zum verzögerten Zeitpunkt$\: t^{\boldsymbol{*}}\:$Richtung Feldpunkt$\:\mathrm A\:$dann dieses Signal und die Ladung$\:q\:$gleichzeitig am Feldpunkt ankommen$\:\mathrm A\:$und Stellung$\: \mathbf{x}$(Punkt$\:\mathrm Q$) bzw. zum jetzigen Zeitpunkt$\:\mathrm t$. Die übliche Zeitdauer dieser Reisen beträgt

$$\begin{equation} \Delta t = t-t^{\boldsymbol{*}} \tag{07} \end{equation}$$ Das heißt, während des Zeitintervalls $\:\Delta t\:$das Signal legt die Strecke geradlinig zurück $\:\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert\:$mit konstanter Geschwindigkeit $\:c$, Also : $$\begin{equation} \left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert= c\,\Delta t \tag{08} \end{equation}$$ während andererseits die Ladung $\:q\:$bewegt sich entlang seiner im Allgemeinen krummlinigen Trajektorie von der Position $\:\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\:$in der Vergangenheit auf seine Position $\:\mathbf{x}\:$in der Gegenwart.

Sehen wir uns an, was im Spezialfall der geradlinigen Bewegung der Ladung passiert. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass sich die Ladung entlang des Positiven bewegt$\:x-$Achse, Einheitsvektor$\:\mathbf{i}$, mit konstanter Geschwindigkeit

$$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\boldsymbol{\upsilon}=\upsilon \mathbf{i}\,,\, \quad \upsilon \in \left(0,\boldsymbol{+}c\right) \tag{09} \end{equation}$$ und zur zeit $\:t=0\:$liegt im Ursprung des Koordinatensystems $\:\mathrm O$, Abbildung-02, also : $$\begin{align} \mathbf{x}\left(t\right) & = \left(\upsilon\,t\,\right)\,\mathbf{i}\,,\quad \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}= \mathbf{x}\left(t^{\boldsymbol{*}}\right) =\left(\upsilon\,t^{\boldsymbol{*}}\right)\,\mathbf{i} \tag{10a}\\ \mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}} & =\upsilon\,\left(t-t^{\boldsymbol{*}}\right)\,\mathbf{i}=\left(\upsilon\,\Delta t\right) \,\mathbf{i} \tag{10b} \end{align}$$ und $$\begin{equation} \left\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert= \upsilon \,\Delta t \tag{11} \end{equation}$$ Von (06) $$\begin{equation} \underbrace{\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert^{2}}_{c^{2}\left(\Delta t\right)^{2}}=\underbrace{\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}\right\Vert^{2}}_{\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}+\underbrace{\left\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert^{2}}_{\upsilon^{2}\left(\Delta t\right)^{2}}+\underbrace{2\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)}_{2\,\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)\,\upsilon\,\Delta t} \tag{12} \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} \left[c^{2}-\upsilon^{2}\right]\left(\Delta t\right)^{2}-\left[2\,\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)\,\right]\left(\Delta t\right)-\left[\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right]=0 \tag{13} \end{equation}$$ mit akzeptabel die nicht-negative Wurzel ⁽¹⁾ in Bezug auf $\:\Delta t\:$ $$\begin{equation} \Delta t =\dfrac{\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)+\sqrt{\upsilon^{2}\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}+\left[c^{2}-\upsilon^{2}\right]\left[\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right]}}{c^{2}-\upsilon^{2}} \tag{14} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \Delta t =\dfrac{\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)+\sqrt{c^{2}\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}+\left(c^{2}-\upsilon^{2}\right)\left(y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right)}}{c^{2}-\upsilon^{2}} \tag{15} \end{equation}$$ Von (08) $$\begin{equation} \left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert=c\Delta t =\sqrt{\gamma^{2}\!-\!1}\,\gamma\left(x\boldsymbol{\!-\!}\upsilon\,t\,\right)+\gamma\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}} \tag{16} \end{equation}$$ Für die zurückgebliebene Zeit, die wir haben $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}=t-\Delta t =\dfrac{\left(c^{2}t-\upsilon\,x\right)-\sqrt{c^{2}\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}+\left(c^{2}-\upsilon^{2}\right)\left(y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right)}}{c^{2}-\upsilon^{2}} \tag{17} \end{equation}$$ also ⁽²⁾ $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}=t-\Delta t =\gamma^{2}\left(t-\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\,x\right)-\dfrac{\gamma\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c} \tag{18} \end{equation}$$ Für die verzögerte Position $$\begin{equation} \mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}=\left(\upsilon\,t^{\boldsymbol{*}}\right) \,\mathbf{i}=\Biggl[\gamma^{2}\left(\upsilon\, t-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\,x\right)-\dfrac{\gamma\,\upsilon\,\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c}\Biggr]\,\mathbf{i} \tag{19} \end{equation}$$ und daraus für die $x-$Teil von $\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)$ $$\begin{align} \left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)_{x} & =x-\Biggl[\gamma^{2}\left(\upsilon\, t-\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\,x\right)-\dfrac{\gamma\,\upsilon\,\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c}\Biggr] \nonumber\\ & = \underbrace{\left(1+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)}_{\gamma^{2}}x-\gamma^{2}\upsilon\, t+\dfrac{\gamma\,\upsilon\,\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c} \nonumber\\ & =\gamma^{2}\left(x-\upsilon t\right)+\dfrac{\gamma\,\upsilon\,\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c} \tag{20} \end{align}$$ das ist $$\begin{equation} \left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)_{x}=\gamma^{2}\left(x-\upsilon t\right)+\dfrac{\gamma\,\upsilon\,\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c} \tag{21} \end{equation}$$ Nächste $$\begin{align} \dfrac{\:\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{*}}}{c}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right) & = \dfrac{\:\upsilon\:}{c}\cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)_{x} \nonumber\\ & = \gamma^{2}\dfrac{\:\upsilon\:}{c}\left(x-\upsilon t\right)+\gamma\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}} \nonumber\\ & = \sqrt{\gamma^{2}\!-\!1}\,\gamma\left(x\boldsymbol{\!-\!}\upsilon\,t\,\right)+\left(\gamma-\dfrac{\:1\:}{\gamma}\right)\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}} \tag{22} \end{align}$$ Also $$\begin{equation} \dfrac{\:\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{*}}}{c}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)=\sqrt{\gamma^{2}\!-\!1}\,\gamma\left(x\boldsymbol{\!-\!}\upsilon\,t\,\right)+\left(\gamma-\dfrac{\:1\:}{\gamma}\right)\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}} \tag{23} \end{equation}$$ Subtrahiere (23) von (16) nebeneinander $$\begin{equation} \left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert-\dfrac{\:\boldsymbol{\upsilon}^{\boldsymbol{*}}}{c}\boldsymbol{\cdot}\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)=\dfrac{\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{\gamma} \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{\dfrac{1}{1}}} \tag{24} \end{equation}$$ Setzen wir diesen Ausdruck in den Nenner von (03) ein, beweisen wir die Lorentz-Gleichung (04).

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^{(1) Die Wurzeln von (13) in Bezug auf$\:\left(\Delta t\right)\:$sind}

$$\begin{equation} \left(\Delta t\right)_{\boldsymbol{\pm}}=\dfrac{\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)\boldsymbol{\pm}\sqrt{\upsilon^{2}\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}+\left[c^{2}-\upsilon^{2}\right]\left[\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right]}}{c^{2}-\upsilon^{2}} \tag{13a} \end{equation}$$ Definieren Sie der Einfachheit halber die reelle Variable $\:f=\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)\:$wir haben $$\begin{align} \left(\Delta t\right)_{\boldsymbol{+}} & \ge \dfrac{f\boldsymbol{+}\vert f\vert}{c^{2}-\upsilon^{2}} \ge 0 \tag{13b}\\ \left(\Delta t\right)_{\boldsymbol{-}} & \le \dfrac{f\boldsymbol{-}\vert f\vert}{c^{2}-\upsilon^{2}} \le 0 \tag{13c} \end{align}$$ das ist eine nicht-negative und eine nicht-positive Wurzel. Beachten Sie, dass ab (13) $$\begin{equation} \left(\Delta t\right)_{\boldsymbol{+}}\cdot \left(\Delta t\right)_{\boldsymbol{-}} =-\dfrac{\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}{c^{2}-\upsilon^{2}}\le 0 \tag{13a} \end{equation}$$ Annehmbar ist die nicht-negative, Gleichung (14).

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^{(2) Es gibt eine Interpretation von Gleichung (18) über die Lorentz-Transformation. Diese Gleichung wird wie folgt ausgedrückt}

$$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}=\gamma\Biggl[\gamma\left(t-\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\,x\right)-\dfrac{\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c}\Biggr] \tag{25} \end{equation}$$ Das haben wir vorher vereinbart, siehe nach (09). $\:t=t_{0}=0\:$wenn die Ladung $\:q\:$liegt am Ursprung $\:\mathrm O\:$des Rahmens $\:\mathrm Oxyz$. Nun einigen wir uns auch auf Set $\:\tau=\tau_{0}=0\:$Wenn $\:q\:$auf den Ursprung $\:\mathrm O$, wo $\:\tau\:$die Zeit im Ruherahmen der Ladung $\:q\:$, das ist seine rechte Zeit.

^{Lassen Sie die beiden Ereignisse}

$$\begin{align} E_{1} & = q\:\:\text{on the origin}\:\: \mathrm O \tag{26.1}\\ E_{2} & = \text{the light signal emitted from retarded position arrives at field point }\:\mathrm A \tag{26.2} \end{align}$$ Die Raum-Zeit-Intervalle, die diese beiden Ereignisse trennen, sind: first in $\:\mathrm Oxyz$ $$\begin{align} \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} x & = x_{2}-x_{1}=x-0=x\,,\quad x=\text{coordinate of field point}\:\: \mathrm A \tag{27.1}\\ \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} t & = t_{2}-t_{1}=t-0=t\,,\quad t=\text{present time} \tag{27.2} \end{align}$$ und zweitens im Ruheframe von $\:q\:$ $$\begin{align} \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} x^{(q)} & = x^{(q)}_{2}-x^{(q)}_{1}=x^{(q)}-0=x^{(q)}\,,\quad x^{(q)}=\text{coordinate of field point}\:\: \mathrm A \tag{28.1}\\ \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} \tau & = \tau_{2}-\tau_{1}=\tau-0=\tau\,,\quad \tau=\text{present proper time} \tag{28.2} \end{align}$$ wo $\:x^{(q)},y^{(q)},z^{(q)}\:$die Koordinaten im Ruhesystem der Ladung $\:q$.

^{Die Lorentz-Transformationsgleichungen sind}

$$\begin{align} \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} x^{(q)} & = \gamma\left(\overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} x-\upsilon\,\overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} t\right) \tag{29.1}\\ \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} y^{(q)} & = \hphantom{\left(\!a\right)} \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} y \tag{29.2}\\ \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} z^{(q)} & = \hphantom{\left(\!a\right)}\overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} z \tag{29.3}\\ \overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} \tau & = \gamma\left(\overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} t-\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\,\overset{\boldsymbol{-}}{\Delta} x\right) \tag{29.4} \end{align}$$ und Einfügen der Raum-Zeit-Intervalle (27), (28) $$\begin{align} x^{(q)} & = \gamma\left( x-\upsilon\,t\right) \tag{30.1}\\ y^{(q)} & = \hphantom{\left(\!a\right)} y \tag{30.2}\\ z^{(q)} & = \hphantom{\left(\!a\right)} z \tag{30.3}\\ \tau & = \gamma\left(t-\dfrac{\upsilon}{c^{2}}\, x\right) \tag{30.4} \end{align}$$ Wir erkennen sofort, dass der erste Term in der rechten Klammer von (25) die gegenwärtige Eigenzeit ist $\:\tau\:$, Also $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}=\gamma\Biggl[\tau-\dfrac{\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c}\Biggr] \tag{31} \end{equation}$$ Wir fahren nun mit der Interpretation des zweiten Glieds in der Klammer fort, dem mit der Quadratwurzel.

^{Im Rahmen$\:\mathrm Oxyz\:$das von der verzögerten Position ausgesendete Signal$\:\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\:$(Punkt$\:\mathrm Q^{\boldsymbol{*}}$) zum Feldpunkt$\:\mathrm A\:$bewegt sich vom Anfang bis zum Ende des Vektors$\:\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right)\:$komponentenweise}

$$\begin{equation} \mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}= \begin{bmatrix} x-\upsilon\, t^{\boldsymbol{*}} \vphantom{\dfrac12}\\ y\vphantom{\dfrac12}\\ z\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{32} \end{equation}$$ Zeit verbringen, siehe (14) $$\begin{align} \Delta t &=\dfrac{\left\Vert\mathbf{r}-\mathbf{x}^{\boldsymbol{*}}\right\Vert}{c}= \dfrac{\sqrt{\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t^{\boldsymbol{*}}\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c} \tag{33}\\ &=\dfrac{\upsilon\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)+\sqrt{\upsilon^{2}\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}+\left[c^{2}-\upsilon^{2}\right]\left[\left(x\boldsymbol{-}\upsilon\,t\,\right)^{2}\boldsymbol{+}y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}\right]}}{c^{2}-\upsilon^{2}} \nonumber \end{align}$$ Aber im Ruhesystem der Ladung scheint sich das Signal von seiner gegenwärtigen Position wegzubewegen $\:\mathbf{x}\:$(Punkt $\:\mathrm Q$) zum Feldpunkt $\:\mathrm A\:$, also vom Anfang bis zum Ende des Vektors $\:\left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)\:$ komponentenweise im Rahmen$\:\mathrm Oxyz$ $$\begin{equation} \mathbf{r}-\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x-\upsilon\, t \vphantom{\dfrac12}\\ y\vphantom{\dfrac12}\\ z\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{34} \end{equation}$$ und gemäß obiger Lorentztransformation komponentenweise im Ruhesystem der Ladung $$\begin{equation} \left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)^{(q)}= \begin{bmatrix} \gamma\left(x-\upsilon\, t\right) \vphantom{\dfrac12}\\ y\vphantom{\dfrac12}\\ z\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{35} \end{equation}$$ richtige Zeit verbringen $$\begin{equation} \Delta \tau =\dfrac{\left\Vert \left(\mathbf{r}-\mathbf{x}\right)^{(q)} \right\Vert}{c}= \dfrac{\sqrt{\bigl[\gamma\left(x-\upsilon t\right)\bigr]^2+y^{2}\boldsymbol{+}z^{2}}}{c}=\tau-\tau^{\boldsymbol{*}} \tag{36} \end{equation}$$ und (31) ergibt $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}=\gamma\tau^{\boldsymbol{*}} \tag{37} \end{equation}$$ Anmerkung: Wegen der sehr missverstandenen Bedeutung der Zeitdilatation wage ich es nicht, (37) als eine Zeitdilatation zu bezeichnen, da es so ausgedrückt werden könnte $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\underbrace{t_{0}}_{=0}=\gamma\left(\tau^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{-}\underbrace{\tau_{0}}_{=0}\right) \tag{38} \end{equation}$$